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证明:（1）因为$AD// BC，$$DF// AB，$所以四边形$ABED$是平行四边形，所以$\angle ABC=\angle ADF。$

 因为$\angle AFC=\angle ABC，$$\angle ACF=\angle ADF，$所以$\angle AFC=\angle ACF，$所以$AC = AF。$

 （2）连接$OA，$$OC。$因为$AC = AF，$$\angle CAF = 30^{\circ}，$

 所以$\angle AFC=\angle ACF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAF)=75^{\circ}，$所以$\angle AOC = 2\angle AFC = 150^{\circ}。$

 因为$\odot O$的半径为3，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角度数，$r$是半径），所以$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{150\pi\times3}{180}=\frac{5\pi}{2}。$

 解：（1）因为$\angle BAE=\angle CAD，$所以$\angle BAE+\angle BAD=\angle CAD+\angle BAD，$所以$\angle DAE=\angle CAB。$

 在$\triangle DAE$和$\triangle CAB$中，$\begin{cases}\angle DAE=\angle CAB \\ AD = AC \\ \angle ADE=\angle ACB\end{cases}，$所以$\triangle DAE\cong\triangle CAB，$所以$AE = AB = 8。$

证明: （2）作$\odot O$的直径$BF，$连接$AF，$则$\angle BAF = 90^{\circ}。$

 因为$AD = AC，$$AB = AE，$所以$\angle ACD=\angle ADC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAD)，$$\angle ABE=\angle AEB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAE)。$

 因为$\angle BAE=\angle CAD，$所以$\angle ABE=\angle ACD。$

 因为$\angle ACD=\angle F，$所以$\angle ABE=\angle F，$所以$\angle OBE=\angle ABE+\angle ABF=\angle F+\angle ABF = 90^{\circ}，$所以$BE\perp OB。$

 因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$BE$是$\odot O$的切线。

证明:（1）连接$OC，$$BC，$$OE。$因为$BD$是$\odot O$的切线，所以$OB\perp BD，$所以$\angle OBE = 90^{\circ}。$

 因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$\angle BCD = 180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}。$

 因为$E$是$BD$的中点，所以$CE = BE=\frac{1}{2}BD。$

 在$\triangle OCE$和$\triangle OBE$中，$\begin{cases}CE = BE \\ OC = OB \\ OE = OE\end{cases}，$所以$\triangle OCE\cong\triangle OBE，$

 所以$\angle OCE=\angle OBE = 90^{\circ}，$所以$OC\perp CE。$

 因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$CE$是$\odot O$的切线。

 （2）因为$AB = 4\sqrt{3}，$所以$OB=\frac{1}{2}AB = 2\sqrt{3}。$

 因为$\angle ABD = 90^{\circ}，$$\angle D = 30^{\circ}，$所以$\angle BAD = 90^{\circ}-\angle D = 60^{\circ}，$$AD = 2AB = 8\sqrt{3}，$

 所以$\angle BOC = 2\angle BAD = 120^{\circ}，$$BD=\sqrt{AD^{2}-AB^{2}} = 12，$所以$BE=\frac{1}{2}BD = 6，$

 所以$S_{\triangle OBE}=\frac{1}{2}OB\cdot BE = 6\sqrt{3}，$所以$S_{四边形OBEC}=2S_{\triangle OBE}=12\sqrt{3}。$

 因为$S_{扇形OBC}=\frac{120\pi\times(2\sqrt{3})^{2}}{360}=4\pi，$所以$S_{阴影}=S_{四边形OBEC}-S_{扇形OBC}=12\sqrt{3}-4\pi。$

 故阴影部分的面积为$12\sqrt{3}-4\pi。$