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$解：（1）连接OE，过点O作OM\perp AE于点M$

$则AM=\frac{1}{2}AE，\angle OMA = 90^{\circ}$

$因为DF\perp AC，所以\angle DFC = 90^{\circ}$

$因为\angle CDF = 15^{\circ}，所以\angle C=90^{\circ}-\angle CDF = 75^{\circ}$

$因为AB = AC，所以\angle ABC=\angle C = 75^{\circ}$

$所以\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle C = 30^{\circ}$

$所以\angle BOE = 2\angle BAC = 60^{\circ}$

$所以\angle AOE=180^{\circ}-\angle BOE = 120^{\circ}$

$因为\odot O的半径为3，所以OA = 3，所以OM=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{2}$

$所以AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$所以AE = 2AM = 3\sqrt{3}$

$因为S_{扇形OAE}=\frac{120\pi\times3^{2}}{360}=3\pi$

$S_{\triangle OAE}=\frac{1}{2}AE\cdot OM=\frac{1}{2}\times3\sqrt{3}\times\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$

$所以S_{阴影}=S_{扇形OAE}-S_{\triangle OAE}=3\pi-\frac{9\sqrt{3}}{4}$

$故阴影部分的面积为3\pi-\frac{9\sqrt{3}}{4}$

$（2）连接BE。因为AB为\odot O的直径，所以\angle AEB = 90^{\circ}，所以BE\perp AC$

$因为DF\perp AC，所以BE// DF，所以\angle CBE=\angle CDF$

$因为\angle CBE=\angle CAD，所以\angle CDF=\angle CAD$

$因为四边形ABDE内接于\odot O，所以\angle AED+\angle ABC = 180^{\circ}$

$因为\angle AED+\angle DEC = 180^{\circ}，所以\angle DEC=\angle ABC$

$因为\angle ABC=\angle C，所以\angle DEC=\angle C$

$所以DE = DC，所以\angle CDF=\angle EDF，所以\angle CAD=\angle EDF。$

$解：（1）\triangle BDE是等腰直角三角形。证明如下：\ $

$因为AB是\odot O的直径，所以\angle ACB=\angle ADB = 90^{\circ}$

$因为AE，BE分别平分\angle BAC和\angle ABC$

$所以\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC，\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC$

$所以\angle BED=\angle BAE+\angle ABE=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)=45^{\circ}$

$所以\angle DBE=90^{\circ}-\angle BED = 45^{\circ}，所以\angle BED=\angle DBE$

$所以BD = DE，所以\triangle BDE是等腰直角三角形$

$（2）连接OC，OD，CD，设OD交BC于点F$

$因为AE平分\angle BAC，所以\angle BAD=\angle CAD$

$所以\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}，所以BD = CD$

$又OB = OC，所以OD垂直平分BC，所以\angle OFB=\angle DFB = 90^{\circ}，BF=\frac{1}{2}BC$

$因为\angle ADB = 90^{\circ}，BD = DE$

$所以BE=\sqrt{BD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2}BD$

$又BE = 2\sqrt{10}，所以BD = 2\sqrt{5}$

$因为AB = 10，所以OB = OD=\frac{1}{2}AB = 5$

$设OF = x，则DF = OD - OF = 5 - x$

$因为BF^{2}+OF^{2}=OB^{2}，BF^{2}+DF^{2}=BD^{2}$

$所以OB^{2}-OF^{2}=BD^{2}-DF^{2}，\ 即5^{2}-x^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-(5 - x)^{2}，解得x = 3，所以OF = 3$

$所以BF=\sqrt{OB^{2}-OF^{2}}=\sqrt{25 - 9}=4，所以BC = 2BF = 8$