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 解：

 (1) 对于方程$x^{2}-4x + 3 = 0，$因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0，$则$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0，$解得$x_{1}=1，$$x_{2}=3。$

 (2) 因为直角三角形的两边长分别是方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的根，所以该直角三角形的两边长分别为$1，$$3。$分类讨论如下：

 ① 若$3$是直角边长，则第三边的长为$\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}；$

 ② 若$3$是斜边长，则第三边的长为$\sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{9 - 1}=2\sqrt{2}。$

 综上所述，该三角形第三边的长为$\sqrt{10}$或$2\sqrt{2}。$

 解：

 (1) 设该市参加健身运动人数的年平均增长率为$x。$由题意，得$32(1 + x)^{2}=50，$

 则$(1 + x)^{2}=\frac{50}{32}=\frac{25}{16}，$

 $1 + x=\pm\frac{5}{4}，$

 解得$x_{1}=\frac{5}{4}-1 = 0.25 = 25\%，$$x_{2}=-\frac{5}{4}-1=-2.25$（不合题意，舍去）。

 故该市参加健身运动人数的年平均增长率为$25\%。$

 (2) 设购买的这种健身器材的套数为$y。$因为$240000\div1600 = 150\gt100，$所以$y\gt100。$

 由题意，得$[1600-\frac{40(y - 100)}{10}]y = 240000，$

 展开括号得$(1600 - 4y + 400)y = 240000，$

 即$(2000 - 4y)y = 240000，$

 $2000y-4y^{2}=240000，$

 两边同时除以$-4$得$y^{2}-500y + 60000 = 0，$

 因式分解得$(y - 200)(y - 300)=0，$

 则$y - 200 = 0$或$y - 300 = 0，$解得$y_{1}=200，$$y_{2}=300。$

 当$y = 200$时，$1600-\frac{40\times(200 - 100)}{10}=1600 - 400 = 1200\gt1000，$符合题意；

 当$y = 300$时，$1600-\frac{40\times(300 - 100)}{10}=1600 - 800 = 800\lt1000，$不合题意。

 综上所述，购买的这种健身器材的套数为$200。$

证明: (1) 连接$OD。$因为直线$l$与$\odot O$相切于点$D，$所以$OD\perp l。$

 因为$AE\perp l，$所以$OD// AE，$所以$\angle DAE=\angle ODA。$

 因为$OA = OD，$所以$\angle OAD=\angle ODA，$所以$\angle OAD=\angle DAE，$所以$AD$平分$\angle CAE。$

 (2) 因为$OD\perp l，$所以$\angle ODC = 90^{\circ}。$设$\odot O$的半径为$r，$则$OB = OD = r。$

 因为$BC = 1，$所以$OC = OB + BC = r + 1。$

 因为$OD^{2}+CD^{2}=OC^{2}，$$CD = 3，$所以$r^{2}+3^{2}=(r + 1)^{2}，$

 展开得$r^{2}+9=r^{2}+2r + 1，$

 移项得$r^{2}-r^{2}-2r=1 - 9，$

 合并同类项得$-2r=-8，$

 解得$r = 4，$即$\odot O$的半径为$4。$