解：
(1) 解方程$x^{2}+mx=n^{2}，$由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（其中$a = 1，$$b = m，$$c=-n^{2}$）得$x=\frac{-m\pm\sqrt{m^{2}+4n^{2}}}{2}。$
因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$$AC = n，$$BC=\frac{1}{2}m，$所以$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{n^{2}+(\frac{1}{2}m)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}+4n^{2}}。$
因为$BD=\frac{1}{2}m，$所以$AD = AB - BD=\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}+4n^{2}}-\frac{1}{2}m=\frac{-m+\sqrt{m^{2}+4n^{2}}}{2}，$
所以$AD$的长为关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx=n^{2}$的一个根。
(2) 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}，$$AB=\frac{1}{2}m，$$AC = n(m\gt2n\gt0)，$以点$B$为圆心，$BA$为半径作半圆，与直线$BC$相交于$D，$$E$两点。
解方程$x^{2}-mx + n^{2}=0，$由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（其中$a = 1，$$b=-m，$$c = n^{2}$）得$x=\frac{m\pm\sqrt{m^{2}-4n^{2}}}{2}。$
因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$$AB=\frac{1}{2}m，$$AC = n，$所以$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{2}m)^{2}-n^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}-4n^{2}}。$
因为$BD = BE=\frac{1}{2}m，$所以$CD = BD - BC=\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}-4n^{2}}=\frac{m-\sqrt{m^{2}-4n^{2}}}{2}，$$CE = BC + BE=\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}-4n^{2}}+\frac{1}{2}m=\frac{m+\sqrt{m^{2}-4n^{2}}}{2}，$
所以$CD，$$CE$的长为关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx + n^{2}=0(m\gt2n\gt0)$的两个正根。
