（1）证明：在方程$x^{2}-(m + 3)x + m + 1 = 0$中，$a = 1，$$b=-(m + 3)，$$c = m + 1。$
则$b^{2}-4ac=[-(m + 3)]^{2}-4(m + 1)=m^{2}+6m + 9-4m - 4=m^{2}+2m + 5=(m + 1)^{2}+4。$
因为$(m + 1)^{2}\geq0，$所以$(m + 1)^{2}+4＞0，$所以不论$m$为何值，原方程都有两个不相等的实数根。
（2）解：把$x = 4$代入$x^{2}-(m + 3)x + m + 1 = 0，$得$16-4(m + 3)+m + 1 = 0。$
$16-4m-12+m + 1 = 0，$
$5-3m = 0，$
解得$m=\frac{5}{3}。$
此时原方程化为$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{8}{3}=0，$
$3x^{2}-14x + 8 = 0，$
$(3x - 2)(x - 4)=0，$
解得$x_{1}=4，$$x_{2}=\frac{2}{3}。$
因为$\frac{2}{3}+\frac{2}{3}＜4，$所以等腰三角形的腰长为4，底边长为$\frac{2}{3}，$所以该三角形的周长为$4 + 4+\frac{2}{3}=\frac{26}{3}。$
