（1）证明：过点$A$作$AM\perp BC$于点$M，$则$\angle AMB=\angle AMC = 90^{\circ}。$
在$Rt\triangle AMB$中，$AM^{2}+BM^{2}=AB^{2}；$在$Rt\triangle AMC$中，$AM^{2}+CM^{2}=AC^{2}；$在$Rt\triangle AMD$中，$AM^{2}+DM^{2}=AD^{2}。$
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD。$
$AB^{2}+AC^{2}=2AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}=2AM^{2}+(BD + DM)^{2}+(CD - DM)^{2}=2AM^{2}+(BD + DM)^{2}+(BD - DM)^{2}=2(AM^{2}+BD^{2}+DM^{2})=2(AD^{2}+BD^{2})。$
（2）解：如图，取$OP$的中点$H，$连接$OC，$$OD，$$OE，$$EH。$
因为$AB = 8，$所以$OB = OC = OD=\frac{1}{2}AB = 4。$
因为$P$是$OB$的中点，所以$OP = BP=\frac{1}{2}OB = 2，$所以$OH=\frac{1}{2}OP = 1。$
因为$E$是$CD$的中点，$\angle CPD = 90^{\circ}，$所以$PE = CE=\frac{1}{2}CD。$
在$\triangle OEP$中，由中线长公式，得$OE^{2}+PE^{2}=2(EH^{2}+OH^{2})=2(EH^{2}+1)。$
在$\triangle OCD$中，由中线长公式，得$OC^{2}+OD^{2}=2(OE^{2}+CE^{2})=2(OE^{2}+PE^{2})，$所以$OE^{2}+PE^{2}=\frac{1}{2}(OC^{2}+OD^{2})=\frac{1}{2}(4^{2}+4^{2}) = 16。$
所以$2(EH^{2}+1)=16，$$EH^{2}+1 = 8，$$EH=\sqrt{7}，$所以点$E$在以点$H$为圆心，$\sqrt{7}$为半径的圆上运动。
结合图形可知，当$EH\perp AB$时，$\triangle EPB$的面积最大，此时$\angle OHE = 90^{\circ}。$
所以$OE=\sqrt{OH^{2}+EH^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{7})^{2}} = 2\sqrt{2}。$
因为$OC = OD，$所以$OE\perp CD，$所以$\angle OEC = 90^{\circ}。$
所以$CE=\sqrt{OC^{2}-OE^{2}}=\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{2}，$所以$CD = 2CE = 4\sqrt{2}。$
故当$\triangle EPB$的面积最大时，$CD$的长为$4\sqrt{2}。$
