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 （1）证明：因为$[-(2k + 1)]^2 - 4×1×4(k - \frac{1}{2}) = 4k^2 - 12k + 9 = (2k - 3)^2 \geq 0，$

 所以无论$k$取何实数，该方程总有实数根.

 （2）解：若该方程的两个实数根互为相反数，

 根据韦达定理，在一元二次方程$ax^2+bx+c = 0$（$a\neq0$）中，两根$x_1，$$x_2$有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}，$

 此方程中$a = 1，$$b = -(2k + 1)，$则$2k + 1 = 0，$

 解得$k = -\frac{1}{2}.$

 故当$k = -\frac{1}{2}$时，该方程的两个实数根互为相反数.

 （3）解：分类讨论如下：

 ①若该等腰三角形的腰长为$4，$则把$x = 4$代入方程$x^2 - (2k + 1)x + 4(k - \frac{1}{2}) = 0，$

 得$4^2 - 4(2k + 1) + 4(k - \frac{1}{2}) = 0，$

 $16-8k - 4 + 4k - 2 = 0，$

 $10 - 4k = 0，$

 解得$k = \frac{5}{2}，$

 则原方程可化为$x^2 - 6x + 8 = 0，$

 即$(x - 2)(x - 4) = 0，$

 解得$x_1 = 2，$$x_2 = 4，$

 则$\triangle ABC$的周长为$2 + 4 + 4 = 10；$

 ②若该等腰三角形的底边长为$4，$则该方程有两个相等的实数根，

 所以$(2k - 3)^2 = 0，$

 解得$k = \frac{3}{2}，$

 则原方程可化为$x^2 - 4x + 4 = 0，$

 即$(x - 2)^2 = 0，$

 解得$x_1 = x_2 = 2.$

 因为$2 + 2 = 4，$不满足三角形三边关系，所以不合题意，舍去.

 综上所述，$\triangle ABC$的周长为$10.$

解: （1）点$B，$$C，$$D，$$E$在以点$M$为圆心的同一个圆上.

 理由如下：连接$DM，$$EM.$

 因为$BD，$$CE$是$\triangle ABC$的高，所以$BD \perp AC，$$CE \perp AB，$

 所以$\angle BDC = \angle BEC = 90^{\circ}.$

 因为$M$是$BC$的中点，

 根据直角三角形斜边中线定理，在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，

 所以$DM = EM = BM = CM = \frac{1}{2}BC，$

 所以点$B，$$C，$$D，$$E$在以点$M$为圆心的同一个圆上.

 （2）解：如图，连接$AF$并延长，交$BC$于点$G，$作$\odot O$的直径$BH，$连接$AH，$$CH，$

 则$\angle BAH = \angle BCH = 90^{\circ}，$所以$AH \perp AB，$$CH \perp BC.$

 因为$CE \perp AB，$所以$AH// CE.$

 因为$BD，$$CE$是$\triangle ABC$的高，所以$AG$是$\triangle ABC$的高，所以$AG \perp BC，$

 所以$AG// CH，$所以四边形$AFCH$是平行四边形，

 所以$AH = CF = 6.$

 因为$AB = 8，$

 根据勾股定理$BH = \sqrt{AB^{2} + AH^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10，$

 所以$OB = \frac{1}{2}BH = 5.$

 故$\triangle ABC$外接圆的半径为$5.$