第21页 - 通城学典课时作业本八年级数学苏科版江苏专版

证明：$(1)$∵$AD = BC，$∴$AD + CD = BC + CD，$即$AC = BD$

在$\triangle ACE$和$\triangle BDF $中

$\begin {cases}AC = BD \\AE = BF \\CE = DF\end {cases}$

∴$\triangle ACE≌\triangle BDF(\mathrm {SSS})$

∴$∠A = ∠B，$∴$AE// BF$

$(2)$由$(1)，$知$∠A = ∠B$

在$\triangle ADE$和$\triangle BCF $中

$\begin {cases}AE = BF \\∠A = ∠B \\AD = BC\end {cases}$

∴$\triangle ADE≌\triangle BCF(S AS)，$∴$DE = CF$

证明：∵$AC$既平分$∠DAB，$又平分$∠DCB$

∴$∠DAC = ∠BAC，$$∠DCA = ∠BCA$

在$\triangle ACD$和$\triangle ACB$中

$\begin {cases}∠DAC = ∠BAC \\AC = AC \\∠DCA = ∠BCA\end {cases}$

∴$\triangle ACD≌\triangle ACB(AS A)，$∴$AD = AB$

在$\triangle AED$和$\triangle AEB$中

$\begin {cases}AD = AB \\∠DAE = ∠BAE \\AE = AE\end {cases}$

∴$\triangle AED≌\triangle AEB(S AS)，$∴$DE = BE$

$(1)$证明：∵$∠D = 90°，$$BE\perp AC，$∴$∠AFE = ∠D = 90°$

∵$EA$平分$∠DEF，$∴$∠FEA = ∠DEA$

在$\triangle F AE$和$\triangle DAE$中

$\begin {cases}∠AFE = ∠D = 90° \\∠FEA = ∠DEA \\EA = EA\end {cases}$

∴$\triangle F AE≌\triangle DAE(\mathrm {AAS})，$∴$AF = AD$

$(2)$解：∵$∠D = 90°，$$BE\perp AC，$∴$∠AF B = ∠D = 90°$

∴$\triangle ABF $和$\triangle ACD$均为直角三角形

在$Rt\triangle ABF $和$Rt\triangle ACD$中

$\begin {cases}AB = AC \\AF = AD\end {cases}$

∴$Rt\triangle ABF≌Rt\triangle ACD(\mathrm {HL})，$∴$BF = CD = 7$

∵$DE = 3，$∴$CE = CD - DE = 7 - 3 = 4$