$ (1)$证明：如图，连接$DE$
∵$CD$是边$AB$上的高，∴$∠ADC=∠BDC = 90°$
∵$BE$是边$AC$上的中线，∴$AE = CE$
∴$DE$是$Rt\triangle ADC$斜边上的中线，∴$DE = CE = AE$
∵$BD = CE，$∴$BD = DE，$∴点$D$在$BE$的垂直平分线上
$(2)$∵$DE = AE，$∴$∠A=∠ADE$
∵$BD = DE，$∴$∠DBE=∠DEB$
∵$∠ADE$是$\triangle DBE$的外角，∴$∠ADE=∠DBE+∠DEB = 2∠DBE$
∴$∠A = 2∠ABE$
∵$∠BEC$是$\triangle ABE$的外角，∴$∠BEC=∠A+∠ABE$
∴$∠BEC = 3∠ABE$
