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 解：$-3a^4 + 24a^3 - 48a^2=-3a^2(a^2 - 8a + 16)=-3a^2(a - 4)^2$

 解：$m^4 - 8m^2 + 16=(m^2 - 4)^2=(m + 2)^2(m - 2)^2$

 解：$x^4 - 81y^4=(x^2 + 9y^2)(x^2 - 9y^2)=(x^2 + 9y^2)(x + 3y)(x - 3y)$

 解：$(x^2 - y^2 + z^2)^2 - (x^2 + y^2 - z^2)^2$

 $=[(x^2 - y^2 + z^2)+(x^2 + y^2 - z^2)][(x^2 - y^2 + z^2)-(x^2 + y^2 - z^2)]$

 $=(2x^2)(-2y^2 + 2z^2)$

 $=4x^2(z^2 - y^2)$

 $=4x^2(z + y)(z - y)$

 解：$(6xy + 1)^2 - 81x^4y^4=(6xy + 1)^2-(9x^2y^2)^2$

 $=(6xy + 1 + 9x^2y^2)(6xy + 1 - 9x^2y^2)$

 $=(3xy + 1)^2(-9x^2y^2 + 6xy + 1)$

 解：$(x + y)^2 - 10(x^2 - y^2)+25(x - y)^2$

 $=(x + y)^2 - 10(x + y)(x - y)+25(x - y)^2$

 令$m = x + y，$$n = x - y，$则原式$=m^2 - 10mn + 25n^2=(m - 5n)^2$

 将$m = x + y，$$n = x - y$代回得：$[(x + y)-5(x - y)]^2=(x + y - 5x + 5y)^2=( - 4x + 6y)^2=4(-2x + 3y)^2$

$(x^2 + 5x)$

完全平方

 （2）解：原式$=[(x - 1)(x + 2)][(x - 3)(x + 4)]+25=(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 12)+25$

 令$t = x^2 + x，$则原式$=(t - 2)(t - 12)+25=t^2 - 14t + 24 + 25=t^2 - 14t + 49=(t - 7)^2$

 把$t = x^2 + x$代回得：$(x^2 + x - 7)^2$

 （3）证明：$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1=[n(n + 3)][(n + 1)(n + 2)]+1=(n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n)+1=(n^2 + 3n + 1)^2$

 因为$n$是自然数，所以$n(n + 3)$一定是偶数，所以$n^2 + 3n=n(n + 3)$是偶数，所以$n^2 + 3n + 1$是奇数，所以四个连续自然数$n,n + 1,n + 2,n + 3$的积与$1$的和等于一个奇数的平方。