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$\frac{x - y}{xy}$

$-\frac{17}{4}$

​​$解：原式=\frac {{a}^2-4}{a-2}-\frac {{a}^2+4}{a-2}$​​
                ​​$=\frac {{a}^2-4-({a}^2+4)}{a-2}$​​
                ​​$=-\frac 8{a-2}$​​

​​$解：原式=\frac {x+y}{(x+y)(x-y)}+\frac 1{x-y}+\frac {2y}{y(y-x)}$​​
                ​​$=\frac 1{x-y}+\frac 1 {x-y}+\frac 2 {y-x}$​​
                ​​$=\frac 1{x-y}+\frac 1 {x-y}-\frac 2 {x-y}$​​
                ​​$=0$​​

 解：根据题意，得$\frac{A}{x - 1} - \frac{B}{2 - x} = \frac{A(x - 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x - 2A - B}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{2x - 6}{(x - 1)(x - 2)}。$

 所以$\begin{cases}A + B = 2\\-2A - B = -6\end{cases}，$

 将两式相加可得：$(A + B)+(-2A - B)=2+(-6)，$

 即$A + B - 2A - B=-4，$

 $-A=-4，$解得$A = 4。$

 把$A = 4$代入$A + B = 2，$得$4 + B = 2，$解得$B = -2。$

 解：$M - N=\frac{a + 1}{a + 2} - \frac{a + 2}{a + 3}=\frac{(a + 1)(a + 3)-(a + 2)^2}{(a + 2)(a + 3)}$

 $=\frac{a^2+3a+a + 3-(a^2+4a + 4)}{(a + 2)(a + 3)}=\frac{a^2+4a + 3 - a^2-4a - 4}{(a + 2)(a + 3)}=-\frac{1}{(a + 2)(a + 3)}。$

 因为$a\gt0，$所以$(a + 2)(a + 3)\gt0，$

 所以$-\frac{1}{(a + 2)(a + 3)}\lt0，$所以$M - N\lt0，$即$M\lt N。$