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$(1,-4)$

$(4,-2)$

$(3,-5)$

-1

-4

 解：（1）

 （4）已知$A(1,4)，$$B(4,2)，$$P(0,m)，$$2\leq m\leq4。$

 过$A$作$AD\perp y$轴于$D，$过$B$作$BE\perp y$轴于$E，$则$D(0,4)，$$E(0,2)。$

 $S_{\triangle PAB}=S_{梯形 ADEB}-S_{\triangle ADP}-S_{\triangle BEP}$

 $S_{梯形 ADEB}=\frac{1}{2}(AD + BE)\times DE=\frac{1}{2}(1 + 4)\times(4 - 2)=5$

 $S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}DP\times AD=\frac{1}{2}(4 - m)\times1=\frac{4 - m}{2}$

 $S_{\triangle BEP}=\frac{1}{2}EP\times BE=\frac{1}{2}(m - 2)\times4 = 2(m - 2)$

 因为$S_{\triangle PAB}=4，$所以$5-\frac{4 - m}{2}-2(m - 2)=4$

 $5-\frac{4 - m}{2}-2m + 4 = 4$

 $10-(4 - m)-4m + 8 = 8$

 $10 - 4 + m - 4m + 8 = 8$

 $-3m=-6$

 $m = 2$

 所以点$P$的坐标为$(0,2)。$

 （1）证明：因为$AB = AC，$所以$\angle B=\angle C。$

 因为$DE\perp BC，$所以$\angle BED=\angle FEC = 90^{\circ}。$

 在$Rt\triangle BDE$中，$\angle BDE = 90^{\circ}-\angle B；$在$Rt\triangle FEC$中，$\angle F = 90^{\circ}-\angle C。$

 所以$\angle BDE=\angle F，$又因为$\angle BDE=\angle ADF，$所以$\angle ADF=\angle F，$所以$AD = AF。$

 （2）解：设$\angle F=x，$则$\angle B = 2x。$

 由（1）知$\angle C=\angle B = 2x，$在$\triangle FEC$中，$\angle FEC = 90^{\circ}，$所以$\angle F+\angle C=90^{\circ}，$即$x + 2x=90^{\circ}，$$3x = 90^{\circ}，$$x = 30^{\circ}。$

 所以$\angle B=\angle C = 60^{\circ}，$所以$\triangle ABC$是等边三角形。

 因为$BE = 2，$$\angle B = 60^{\circ}，$$\angle BED = 90^{\circ}，$所以$BD = 4。$

 因为$CF = 16，$$\angle C = 60^{\circ}，$$\angle FEC = 90^{\circ}，$所以$CE = 8。$

 所以$BC=BE + CE=2 + 8 = 10。$