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 （1）证明：因为$ED$是$AC$的垂直平分线，

所以$EA = EC，$则$\angle EAC=\angle C。$

 所以$\angle AEB=\angle EAC+\angle C = 2\angle C，$

又因为$\angle B = 2\angle C，$所以$\angle B=\angle AEB，$所以$AB = AE。$

 因为$\triangle ABE$和$\triangle AEC$都是等腰三角形，

所以$AE$是$\triangle ABC$的一条等腰分割线。

 （2）解：因为$AD = BD，$所以$\angle B=\angle BAD。$

 ①当$AD = CD$时，$\angle C=\angle CAD = 30^{\circ}，$

所以$\angle BAC=\angle BAD+\angle CAD = 2\angle B+30^{\circ}。$

 在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle BAC+\angle C = 180^{\circ}，$

即$\angle B+(2\angle B + 30^{\circ})+30^{\circ}=180^{\circ}，$$3\angle B=120^{\circ}，$
$\angle B = 40^{\circ}$（舍去，因为$\angle B = 2\angle C$不成立）。

 ②当$AC = CD$时，$\angle CAD=\angle ADC=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}，$
$\angle B=\angle BAD，$$\angle ADC=\angle B+\angle BAD，$所以$\angle B = 37.5^{\circ}。$

 ③当$AC = AD$时，$\angle ADC=\angle C = 30^{\circ}，$$\angle B=\angle BAD，$$\angle ADC=\angle B+\angle BAD，$所以$\angle B = 15^{\circ}。$

 综上，$\angle B$的度数为$60^{\circ}$或$15^{\circ}$或$37.5^{\circ}。$

解： (1) ∵ $ BD \perp $直线$ m $，$ CE \perp $直线$ m $，∴ $ ∠BDA = ∠AEC = 90° $。

∵ $ ∠BAC = 90° $，∴ $ ∠BAD + ∠CAE = 90° $。

∵ $ ∠BAD + ∠ABD = 90° $，∴ $ ∠CAE = ∠ABD $。

又∵ $ AB = CA $，∴ $ \triangle ADB \cong \triangle CEA $。

∴ $ BD = AE $，$ AD = CE $。∴ $ DE = AE + AD = BD + CE $

(2) 成立理由：∵ $ ∠BDA = ∠BAC = α$，

∴ $ ∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠EAC = 180° - α$。

∴ $ ∠DBA = ∠EAC $。又∵ $ ∠BDA = ∠AEC = α$，$ AB = CA $，

∴ $ \triangle ADB \cong \triangle CEA $。

∴ $ BD = AE $，$ AD = CE $。

∴ $ DE = AE + AD = BD + CE $。

(3) $ \triangle DEF $为等边三角形理由：

由(2)，知 $ ∠DBA = ∠EAC $，$ \triangle ADB \cong \triangle CEA $，

∴ $ BD = AE $。∵ $ ∠ABF $和 $ ∠ACF $均为等边三角形，

∴ $ BF = AF $，$ ∠BFA = ∠ABF = ∠CAF = 60° $。

∴ $ ∠DBA + ∠ABF = ∠EAC + ∠CAF $，即 $ ∠DBF = ∠EAF $。

又∵ $ BF = AF $，$ BD = AE $，

∴ $ \triangle DBF \cong \triangle EAF $。∴ $ DF = EF $，$ ∠BFD = ∠AFE $。

∴ $ ∠DFE = ∠DFA + ∠AFE = ∠DFA + ∠BFD = ∠BFA = 60° $。

∴ $ \triangle DEF $为等边三角形。