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 证明：因为$AD$是$BC$边上的高，所以$\angle MDC = 90^{\circ}。$

所以$\angle DMC+\angle DCM = 90^{\circ}。$

又因为$\angle DCM=\angle MAE，$$\angle DMC=\angle AME，$

所以$\angle AME+\angle MAE = 90^{\circ}。$

所以$\triangle AEM$是直角三角形。

 解：因为$PE\perp AD，$所以$\angle DPE = 90^{\circ}。$

则$\angle PDE = 90^{\circ}-\angle E = 60^{\circ}。$因

为$\angle ADE=\angle B+\angle BAD，$

所以$\angle BAD=\angle ADE - \angle B = 60^{\circ}-34^{\circ}=26^{\circ}。$

因为$AD$平分$\angle BAC，$

所以$\angle BAC = 2\angle BAD = 2\times26^{\circ}=52^{\circ}。$

所以$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle B-\angle BAC = 180^{\circ}-34^{\circ}-52^{\circ}=94^{\circ}。$

 （1）解：因为$BE$平分$\angle ABC，$$\angle ABC = 64^{\circ}，$

所以$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 32^{\circ}。$

因为$AD\perp BC，$所以$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}。$

因为$\angle C=\angle AEB-\angle EBC = 70^{\circ}-32^{\circ}=38^{\circ}，$

所以$\angle CAD = 90^{\circ}-\angle C = 90^{\circ}-38^{\circ}=52^{\circ}。$

 （2）①当$\angle EFC = 90^{\circ}$时，

$\angle BEF = 90^{\circ}-\angle EBC = 90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ}。$

 ②当$\angle FEC = 90^{\circ}$时，$\angle EFC = 90^{\circ}-\angle C = 90^{\circ}-38^{\circ}=52^{\circ}，$

所以$\angle BEF=\angle EFC-\angle EBC = 52^{\circ}-32^{\circ}=20^{\circ}。$

 综上所述，$\angle BEF$的度数为$58^{\circ}$或$20^{\circ}。$