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解：方程两边同乘$(x-2)(x+3)$得：

$6(x+3)=x(x-2)-(x-2)(x+3)$

解得：$x=-\frac {4}{3}$

经检验，当$x = -\frac{4}{3}$时，$(x - 2)(x + 3)\neq0，$

所以$x = -\frac{4}{3}$是原方程的解。

解：方程两边同乘$2(x-1)$得：

$2+2(x-1)=3$

解得：$x=\frac {3}{2}$

经检验，当$x=\frac{3}{2}$时，$2(x - 1)\neq0，$

所以$x=\frac{3}{2}$是原方程的解。

 解：

 $\begin{aligned}&(1+\frac{2}{m - 2})\cdot\frac{m^{2}-4}{m}\\=&(\frac{m - 2}{m - 2}+\frac{2}{m - 2})\cdot\frac{(m + 2)(m - 2)}{m}\\=&\frac{m - 2+2}{m - 2}\cdot\frac{(m + 2)(m - 2)}{m}\\=&\frac{m}{m - 2}\cdot\frac{(m + 2)(m - 2)}{m}\\=&m + 2\end{aligned}$

 因为$m - 2\neq0，$$m\neq0，$即$m\neq2，$$m\neq0。$当$m = 1$时，原式$=1 + 2=3。$

 解：

 $\begin{aligned}&\frac{2}{x + 3}+\frac{2}{3 - x}+\frac{2x + 6}{x^{2}-9}\\=&\frac{2}{x + 3}-\frac{2}{x - 3}+\frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2(x - 3)-2(x + 3)+2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2x-6-2x - 6+2x + 6}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2x-6}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2}{x + 3}\end{aligned}$

 因为$x$为整数，$x + 3$为整数，若分式$\frac{2}{x + 3}$的值是整数，则$x + 3$的值为$\pm1$或$\pm2。$

 当$x + 3 = 1$时，$x=-2；$当$x + 3=-1$时，$x=-4；$当$x + 3 = 2$时，$x=-1；$当$x + 3=-2$时，$x=-5。$

 所以所有符合要求的整数$x$的值为$-1，$$-2，$$-4，$$-5。$