解：$(1)$因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$∠ABC = 60°，$$AB = AC。$
$ $因为$O$是$BC$的中点，所以$AD\perp BC，$即$∠ADB = 90°。$
$ $因为$\triangle ADE$是等边三角形，所以$∠ADE = 60°。$
$ $所以$∠BDF = 180°-90°-60°=30°。$
$ $所以$∠F=∠ABC-∠BDF = 30°。$
$ $所以$∠F=∠BDF。$
$ $所以$BD = BF。$
$ (2)$补全图形如图$①$所示。
如图①，连接$EC。$
$ $因为$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是等边三角形，
所以$∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB = 60°，$
$AB = AC，$$AD = AE。$
$ $所以$∠BAD=∠CAE。$
$ $所以$\triangle ABD\cong \triangle ACE(\mathrm {SAS})。$
$ $所以$BD = CE，$$∠ABD=∠ACE = 60°。$
$ $所以$∠BCE=∠ACB+∠ACE = 120°。$
$ $因为$∠ABC = 60°，$所以$∠FBC = 120°。$
$ $所以$∠FBC=∠BCE。$
$ $因为$O$是$BC$的中点，所以$BO = CO。$
$ $又因为$∠BOF=∠COE，$所以$\triangle BOF\cong \triangle COE(\mathrm {ASA})。$
$ $所以$BF = CE。$
$ $所以$BD = BF。$
$ (3)$因为$\triangle ABC$是等边三角形，$O$是$BC$的中点，所以$AB = BC = 2OB。$
分三种情况：
$ ①$当点$D$在线段$OC$上时，如图②，连接$CE。$由$(2)$同理，知$BD = CE = BF。$
$ $因为$OB = BD-OD，$所以$OB = BF-OD。$所以$AB = 2(BF-OD)。$
$ ②$当点$D$在线段$OB$上时，如图①。
由$(2)$知$BF = BD。$
因为$OB = BD + OD，$所以$OB = BF + OD。$所以$AB = 2(BF + OD)。$
$ ③$当点$D$在线段$CB$的延长线上时，如图③，连接$CE。$由$(2)$同理，得$\triangle ABD\cong \triangle ACE。$
$ $所以$BD = CE，$$∠ABD=∠ACE = 180°-∠ABC = 120°。$
$ $因为$∠ACB = 60°，$所以$∠OCE = 60°。$
$ $所以$∠OBF=∠OCE = 60°。$
$ $又因为$OB = OC，$$∠BOF=∠COE，$所以$\triangle BOF\cong \triangle COE(\mathrm {ASA})。$
$ $所以$BF = CE。$所以$BD = BF。$
$ $因为$OB = OD-BD，$所以$OB = OD-BF。$所以$AB = 2(OD-BF)。$
综上所述，当点$D$在线段$OC$上时，$AB = 2(BF-OD)；$
当点$D$在线段$OB$上时，$AB = 2(BF + OD)；$
当点$D$在线段$CB$的延长线上时，$AB = 2(OD-BF)。$
