解：（1）因为$\frac{A}{x}+\frac{B}{x + 1}=\frac{A(x + 1)}{x(x + 1)}+\frac{Bx}{x(x + 1)}=\frac{(A + B)x+A}{x(x + 1)}=\frac{1 - x}{x(x + 1)}，$
所以$\begin{cases}A + B=-1\\A = 1\end{cases}，$
把$A = 1$代入$A + B=-1$得，$1 + B=-1，$解得$B=-2。$
（2）由（1），可得$\frac{1 - x}{x(x + 1)}=\frac{1}{x}+\frac{-2}{x + 1}。$
同理，可得$\frac{1 - x}{(x + 1)(x + 2)}=\frac{2}{x + 1}+\frac{-3}{x + 2}。$
所以原方程可变形为$\frac{1}{x}+\frac{-2}{x + 1}+\frac{2}{x + 1}+\frac{-3}{x + 2}=\frac{1}{x + 2}，$
即$\frac{1}{x}=\frac{4}{x + 2}，$
方程两边同乘$x(x + 2)$得：$x + 2 = 4x，$
$x-4x=-2，$
$-3x=-2，$
解得$x=\frac{2}{3}。$
经检验，$x=\frac{2}{3}$是原分式方程的解。
所以原分式方程的解为$x=\frac{2}{3}。$
