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解：$(1)$如图所示

$(2)R=2r，$理由如下：

设$△ABC$的内切圆与$AC$相切于点$E ，$连接$OE ，$$ OC$

∵$AC$是圆$O$的切线

∴$OE⊥AC$

∵$△ABC$是等边三角形

∴$∠ACB = 60°$

∴$ ∠ECO=\frac 12∠ACB=30°$

∴$OC= 2OE，$即$R= 2r$

解：如图所示

解：该四边形的对边之和相等

证明：∵$AB =BC，$$PB⊥AC$

∴$AP= PC$

∴$∠MPB=∠CPB$

∵$PB⊥BC，$且$BC$为半圆的半径

∴$PB$为半圆的切线

又∵$PN$为半圆的切线

∴$∠BPC=∠CPN$

∴$∠MPB=∠BPC=∠CPN$

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