第44页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

C

10

1

$ 2\sqrt{3} $

2

$解：AE=AF，理由如下$ $ ∵四边形ABCD为菱形，且E、F为BC、CD的中点$ $ ∴AB=AD=BC=CD，BE=\frac 12BC=DF=\frac 12CD$ $ 在△ABE和△ADF 中$ $ \begin{cases}AB=AD\\∠B=∠D\\BE=DF\end{cases}$ $ ∴△ABE≌△ADF(\mathrm {SAS})$ $ ∴AE=AF$

1

$解：∵四边形ABCD为菱形$ $ ∴OB⊥OC，OB=\frac 12BD=4，OC=\frac 12AC=3$ $ ∴BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=5$ $ ∵S_{菱形ABCD}=\frac 12AC ·BD=\frac 12BC ·AE$ $∴AE=\frac {24}5$

$解：方案一：S_{菱形}=8×4-\frac 12×8×4=16\ \mathrm {cm^2}$ $ 方案二：设AE=CE=x$ $ ∴BE=8-x$ $ 在Rt△ABE中，AB^2+(8-x)^2=x^2$ $ 解得x=5\ \mathrm {cm}$ $ ∴S_{菱形}=5×4=20\ \mathrm {cm^2}$ ∴方案二中的菱形的面积较大

【解析】
菱形的对角线互相垂直且平分，已知两条对角线长分别为6和8，则对角线的一半分别为3和4。根据勾股定理，菱形的边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题主要考查菱形的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将求边长的问题转化为直角三角形中求斜边的问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【解析】
1. 由菱形周长为52，可得菱形边长为：$ 52÷4=13 $；
2. 菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长24，则其一半为$ 24÷2=12 $；
3. 根据勾股定理，另一条对角线的一半为：$ \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25}=5 $；
4. 因此另一条对角线长为：$ 5×2=10 $。
【答案】
10
【知识点】
菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查菱形性质与勾股定理的综合应用，需牢记菱形对角线互相垂直平分、四条边相等的性质，结合勾股定理求解线段长度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【解析】
因为菱形两邻角互补，且度数之比为1:3，设较小内角为$ x $，则$ x + 3x = 180° $，解得$ x = 45° $。
菱形的高与边长及菱形的一边构成直角三角形，其中锐角为$ 45° $，已知边长为$ \sqrt{2} $，根据锐角三角函数定义，高$ h = \sqrt{2} × \sin45° = \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
菱形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题考查菱形邻角互补的性质及特殊角的三角函数值的应用，需结合直角三角形边角关系求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

【解析】
1. 菱形ABCD的周长为8，因此边长AB=8÷4=2；
2. 设AC与BD交于点O，根据菱形性质：对角线互相垂直平分且平分内角，故AC⊥BD，∠ABO=1/2∠ABC=60°，∠AOB=90°；
3. 在Rt△ABO中，∠BAO=30°，则BO=1/2AB=1；
4. 由勾股定理得AO=√(AB²-BO²)=√(2²-1²)=√3；
5. 因此AC=2AO=2√3，BD=2BO=2。
【答案】
2√3，2
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题考查菱形性质与直角三角形相关定理的综合应用，需熟练掌握菱形对角线的特点及直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.6

【解析】
要证明$AE=AF$，可通过证明$△ ABE≌△ ADF$推导：
1. 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB=AD$，$∠ B=∠ D$，$BC=CD$。
2. 由于$E$，$F$分别是$BC$，$CD$的中点，因此$BE=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}CD$，故$BE=DF$。
3. 在$△ ABE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases} AB=AD \\ ∠ B=∠ D \\ BE=DF \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ADF$（$\mathrm{SAS}$）。
4. 根据全等三角形的对应边相等，可得$AE=AF$。
【答案】
$AE=AF$，理由是可证$△ ABE≌△ ADF$，由全等三角形对应边相等得$AE=AF$。
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形性质与全等三角形的基础综合题，是几何中证明线段等量关系的典型题型，需熟练掌握菱形的边、角性质及全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.6

【解析】
设$DE=CE=x$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴$BC=AB=\sqrt{3}$，$∠CBD=∠CDB$，
∵$DE=CE$，
∴$∠CDB=∠DCE$，
∴$∠CBD=∠DCE$，
∵$CE⊥BC$，
∴$∠BCE=90°$，
∴$∠CBD+∠CEB=90°$，
又
∵$∠CEB=∠CDB+∠DCE=2∠CDB=2∠CBD$，
设$∠CBD=θ$，则$θ+2θ=90°$，解得$θ=30°$，
在$Rt△BCE$中，$tan∠CBD=\frac{CE}{BC}$，
即$\tan30°=\frac{x}{\sqrt{3}}$，
解得$x=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
故$DE=1$。
【答案】
1
【知识点】
菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形、等腰三角形及直角三角形的性质，通过角度关系推导出30°角，利用三角函数建立等式求解，需熟练掌握菱形的边与角的性质及直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.6

【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=3$，$BO=\frac{1}{2}BD=4$，$AB=BC$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又
∵$S=BC·AE$，$BC=AB=5$，
∴$5AE=24$，解得$AE=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积公式
【点评】
本题考查菱形的性质及面积计算，灵活运用菱形的两种面积计算方法是解题关键。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 计算图①中菱形EFGH的面积：
矩形纸片的面积为：$8×4=32(cm^{2})$，
四个直角三角形的面积和为：$4×\frac{1}{2}×4×2=16(cm^{2})$，
则菱形EFGH的面积为：$32-16=16(cm^{2})$。
2. 计算图②中菱形AECF的面积：
设$AE=EC=x\ cm$，则$BE=(8-x)\ cm$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$，
解得$x=5$，
则菱形AECF的面积为：$5×4=20(cm^{2})$。
比较得：$16＜20$，即图②的菱形面积大于图①的菱形面积。
【答案】
图①菱形面积为$16 cm^{2}$，图②菱形面积为$20 cm^{2}$，$20＞16$，小丰折出的菱形面积更大。
【知识点】
菱形面积计算，勾股定理，矩形性质
【点评】
本题通过计算两种菱形的面积，考查了菱形面积的不同计算方法，需结合矩形性质与勾股定理求解，培养几何图形的计算与分析能力。
【难度系数】
0.6