【解析】
1. (1) 四边形$ABCD$是平行四边形。
理由：已知$AB = BC = CD = DA$，则$AB = CD$，$AD = BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形。
(2) 四边形$ABCD$是菱形。
理由：由(1)知四边形$ABCD$是平行四边形，又$AB = BC$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形$ABCD$是菱形。
2. (1) $AC$与$BD$互相垂直。
理由：已知$OA = 3$，$OB = 4$，$AB = 5$，因为$3^2 + 4^2 = 5^2$，即$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$∠ AOB = 90°$，所以$AC ⊥ BD$。
(2) 四边形$ABCD$是菱形。
理由：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA=OC$，$OB=OD$，又$AC ⊥ BD$，在$△ AOB$和$△ AOD$中，$\begin{cases}OA=OA\\∠ AOB=∠ AOD\\OB=OD\end{cases}$，所以$△ AOB ≌ △ AOD$（SAS），得$AB=AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
1. (1) 是，理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2) 是，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. (1) 垂直，理由：由勾股定理逆定理得$∠ AOB = 90°$；
(2) 是，理由：可证$△ AOB ≌ △ AOD$得$AB=AD$，一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题考查平行四边形、菱形的判定定理及勾股定理逆定理的应用，需熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，理清判定条件的先后顺序。
【难度系数】
0.6
