第61页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

B

 正确

 错误

解：原式=$(3 + 5a)(3 - 5a)$

 错误 

解：原式=$(3b + 2a)(3b - 2a)$

解：原式= $(6 + x)(6 - x)$

解：原式= $(a + \frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$

 解：原式=$(y + \frac{1}{3})(y - \frac{1}{3})$

解：$原式=(y+1)^2 - 4^2$

$=[(y+1)+4][(y+1)-4]$

$=(y + 5)(y - 3)$

解：原式= $(x + y + a + b)(x + y - a - b)$

解：$原式=[5(a+b)]^2 - [2(a-b)]^2$

$=[5(a+b)+2(a-b)][5(a+b)-2(a-b)]$

$=(5a+5b+2a-2b)(5a+5b-2a+2b)$

$=(7a + 3b)(3a + 7b)$

解：剩余部分的面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积，

据此列出表达式：

$S = a^2 - 4b^2$

将$a=18$，$b=6$代入上式：

$S = 18^2 - 4×6^2 = 324 - 144 = 180$（$\mathrm{cm}^2$）

解：根据平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，

将$x^2 - y^2=1$，$x+y=\frac{1}{2}$代入公式可得： $1=\frac{1}{2}(x-y)$ 两边同时乘以2，解得：$x-y=2$

 解：能，理由如下：

因为 $(2k + 1)^{2}-1=(2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1)=2k(2k + 2)=4k(k + 1)，$

又因为 $k$ 为正整数，

所以 $k$ 和 $k + 1$ 为一个奇数、一个偶数，

所以 $4k(k + 1)$ 为 8 的倍数，故 $(2k + 1)^{2}-1$ 能被 8 整除

【解析】
利用平方差公式逐步因式分解：
$\begin{aligned}5^8 - 1&=(5^4)^2 - 1^2\\&=(5^4 - 1)(5^4 + 1)\\&=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)\\&=(25 - 1)(25 + 1)(5^4 + 1)\\&=24×26×626\end{aligned}$
由此可知$5^8 - 1$能被24和26整除，这两个数在20和30之间，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查因式分解的应用，重点考查平方差公式的多次运用，通过对多项式进行因式分解，将大数转化为多个因数的乘积，从而找到20到30之间的整除因数，需要学生熟练掌握平方差公式的结构特征并灵活运用。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 该式符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，分解因式正确。
(2) $9-25a^2$可变形为$3^2-(5a)^2$，根据平方差公式应分解为$(3+5a)(3-5a)$，原式分解错误。
(3) $-4a^2+9b^2$可变形为$9b^2-4a^2=(3b)^2-(2a)^2$，根据平方差公式应分解为$(3b+2a)(3b-2a)$，原式分解错误。
【答案】
(1) 正确；(2) 错误，正确结果为$(3 + 5a)(3 - 5a)$；(3) 错误，正确结果为$(3b + 2a)(3b - 2a)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，需准确把握平方差公式的结构特征，注意式子中各项的符号与系数，避免分解错误。
【难度系数】
0.8

【解析】
本题可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对各式进行因式分解，具体步骤如下：
(1) $36-x^{2}=6^2 - x^2=(6 + x)(6 - x)$；
(2) $a^{2}-\frac{1}{16}b^{2}=a^2 - (\frac{1}{4}b)^2=(a + \frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$；
(3) $-\frac{1}{9}+y^{2}=y^2 - (\frac{1}{3})^2=(y + \frac{1}{3})(y - \frac{1}{3})$；
(4) $(y+1)^{2}-16=(y+1)^2 - 4^2=[(y+1)+4][(y+1)-4]=(y + 5)(y - 3)$；
(5) $(x+y)^{2}-(a+b)^{2}=[(x+y)+(a+b)][(x+y)-(a+b)]=(x + y + a + b)(x + y - a - b)$；
(6) $25(a+b)^{2}-4(a-b)^{2}=[5(a+b)]^2 - [2(a-b)]^2=[5(a+b)+2(a-b)][5(a+b)-2(a-b)]=(5a+5b+2a-2b)(5a+5b-2a+2b)=(7a + 3b)(3a + 7b)$。
【答案】
(1) $(6 + x)(6 - x)$；
(2) $(a + \frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$；
(3) $(y + \frac{1}{3})(y - \frac{1}{3})$；
(4) $(y + 5)(y - 3)$；
(5) $(x + y + a + b)(x + y - a - b)$；
(6) $(7a + 3b)(3a + 7b)$
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，关键是要准确识别出式子中的平方项，将其转化为$a^2 - b^2$的形式，再套用公式分解，注意分解后要化简括号内的式子，确保结果最简。
【难度系数】
0.7

【解析】
剩余部分的面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积，据此列出表达式：
$S = a^2 - 4b^2$
将$a=18$，$b=6$代入上式：
$S = 18^2 - 4×6^2 = 324 - 144 = 180$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
180
【知识点】
正方形面积公式，代数式求值
【点评】
本题考查正方形面积公式的应用与代数式求值，需掌握面积计算方法及有理数混合运算规则，代入数值时注意运算顺序。
【难度系数】
0.9

【解析】
根据平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，将$x^2 - y^2=1$，$x+y=\frac{1}{2}$代入公式可得：
$1=\frac{1}{2}(x-y)$
两边同时乘以2，解得：
$x-y=2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，熟练掌握平方差公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【解析】
先利用平方差公式对原式因式分解：
$(2k + 1)^{2}-1=(2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1)=2k(2k + 2)=4k(k + 1)$，
因为$k$为正整数，$k$和$k + 1$是连续正整数，必有一个为偶数，即$k(k+1)$能被2整除，
因此$4k(k + 1)$能被$4×2=8$整除，故$(2k + 1)^{2}-1$能被8整除。
【答案】
能被8整除
【知识点】
平方差公式应用、整数奇偶性分析
【点评】
本题考查平方差公式的运用与整数奇偶性的判断，通过因式分解将原式变形，结合连续整数的奇偶特征可判断整除性，需熟练掌握因式分解方法与数的基本性质。
【难度系数】
0.6