第60页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

a+b

a-b

$(a+b)^2$

$(a-b)^2$

公式

 两个数的平方差

 这两数和与这两数差的积

$4^{2}$

4

$8^{2}$

8

解：原式= $(x + y)(x - y)$

不能

 不能

解：原式= $(y + x)(y - x)$

解：原式= $(3 + 2m)(3 - 2m)$

解：原式=$(2x + 3y)(2x - 3y)$

 证明：设两个连续的奇数分别为 $ x, x + 2 ，$

$(x + 2)^2 - x^2 = 4(x + 1)$

$\because x$ 是奇数

$\therefore x + 1$ 是偶数

$\therefore 4(x + 1)$ 是8的倍数

【解析】
1. 借助乘法公式的逆运算完成填空：
(1) 由平方差公式逆用可得，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$；
(2) 由完全平方和公式逆用可得，$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$；
(3) 由完全平方差公式逆用可得，$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$；
2. 逆向运用乘法公式进行因式分解的方法定义为公式法；
观察第1题(1)的等式：
(1) 等式左边是两个数的平方差形式；
(2) 等式右边是这两个数的和与这两个数的差的乘积形式。
【答案】
活动一：
1. (1) $\boldsymbol{a+b}$，$\boldsymbol{a-b}$；(2) $\boldsymbol{(a+b)^2}$；(3) $\boldsymbol{(a-b)^2}$
2. 公式
(1) 两个数的平方差
(2) 这两数和与这两数差的积
【知识点】
公式法因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题为基础题型，主要考查乘法公式的逆用、公式法因式分解的定义，重点强化对平方差公式结构特征的理解，帮助学生夯实因式分解的基础内容。
【难度系数】
0.9

【解析】
1. （1）根据平方差公式的形式，$16=4^2$，所以$a^2 - 16=a^2 - 4^2$，再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解为$(a+4)(a-4)$；
（2）同理，$64=8^2$，所以$64 - b^2=8^2 - b^2$，分解为$(8+b)(8-b)$；
2. 平方差公式的特征是多项式为两个数的平方差形式：
（1）$x^2 - y^2$符合平方差形式，可分解为$(x+y)(x-y)$；
（2）$x^2 + y^2$是平方和，不符合平方差公式特征，不能分解；
（3）$-x^2 - y^2=-(x^2 + y^2)$，是平方和的相反数，不能用平方差公式分解；
（4）$-x^2 + y^2=y^2 - x^2$，符合平方差形式，可分解为$(y+x)(y-x)$；
（5）$9 - 4m^2=3^2-(2m)^2$，符合平方差形式，可分解为$(3+2m)(3-2m)$；
（6）$4x^2 - 9y^2=(2x)^2-(3y)^2$，符合平方差形式，可分解为$(2x+3y)(2x-3y)$。
【答案】
活动二:1. (1) $ 4^{2} $ 4 4 (2) $ 8^{2} $ 8 8
2. (1) $ (x + y)(x - y) $；(2) 不能；(3) 不能；(4) $ (y + x)(y - x) $；(5) $ (3 + 2m)(3 - 2m) $；(6) $ (2x + 3y)(2x - 3y) $
【知识点】
平方差公式分解因式，平方差公式特征
【点评】
本题重点考查平方差公式分解因式的基础应用，需要准确把握平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，区分平方和与平方差，正确判断多项式是否可利用该公式分解。
【难度系数】
0.7

【解析】
设两个连续的奇数分别为$x$，$x + 2$（$x$为奇数），计算它们的平方差：
$\begin{aligned}(x + 2)^2 - x^2&=(x + 2 + x)(x + 2 - x)\\&=4(x + 1)\end{aligned}$
因为$x$是奇数，所以$x + 1$是偶数，即$x + 1$能被2整除，因此$4(x + 1)$能被8整除，即两个连续奇数的平方差是8的倍数。
【答案】
两个连续奇数的平方差是8的倍数，证明成立。
【知识点】
平方差公式，奇偶性性质
【点评】
本题通过设未知数将文字命题转化为代数问题，利用平方差公式化简结合奇数、偶数的性质完成证明，考查代数推理能力，帮助理解整式运算与数的性质的综合应用。
【难度系数】
0.7