第78页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

=

≥

解：两个整式作差,与0进行大小比较. 两个整式A,B,若A - B ＞ 0,则A ＞ B;若A - B = 0,则A = B;若A - B ＜ 0,则A ＜ B

例4
题目：已知a＞b＞0，试比较$\frac 1a与\frac 1b$的大小
解：$\frac 1a-\frac 1b=\frac {b-a}{ab}$

因为a＞b＞0，所以b-a＜0，ab＞0，所以$\frac {b-a}{ab}＜0$

所以$\frac 1a＜\frac 1b$
 例5
题目：证明：$\frac 1{n(n+1)}=\frac 1n-\frac 1{n+1}$
证明：因为$右边=\frac 1n-\frac 1{n+1}=\frac {(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac 1{n(n+1)}$，

$左边=\frac 1{n(n+1)}$

所以左边=右边，即$\frac 1{n(n+1)}=\frac 1n-\frac 1{n+1}$

 比较分式大小的方法主要有以下几种：
同分母分式：当两个分式的分母相同，比较分子的大小，分子大的分式较大，即若$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$（其中$c＞0$）当且仅当$a ＞ b。$
同分子分式：当两个分式的分子相同，分母小的分式较大，即若$\frac{a}{b} ＞ \frac{a}{c}$（其中$a＞0$）当且仅当$b ＜ c。$
差值法：比较两个分式$\frac{a}{b}$与$\frac{c}{d}$的大小，可以通过计算其差：若$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} ＞ 0$（其中$bd＞0$），则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}。$
商值法：对于两个正分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}，$可以通过计算其商：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a · d}{b · c} ＞ 1，$则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}。$
通分法：将两个分式的分母化为相同，然后比较分子的大小。

＜

B

【解析】
1. (1) 计算左边：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$，故$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$；
(2) 展开左边整式：$(2x + 1)^2 - 1=4x^2+4x+1-1=4x^2+4x$，故$(2x + 1)^2 - 1=4x^2 + 4x$；
(3) 用作差法：$x^2 + 1 - 2x=(x-1)^2$，由于$(x-1)^2≥0$，所以$x^2 + 1≥2x$；
2. 比较两个整式大小可采用作差法：设两个整式为A、B，计算A与B的差，若$A-B＞0$，则$A＞B$；若$A-B=0$，则$A=B$；若$A-B＜0$，则$A＜B$。
【答案】
1. (1) = (2) = (3) ≥
2. 两个整式作差，与0进行大小比较。两个整式A,B,若A - B ＞ 0,则A ＞ B;若A - B = 0,则A = B;若A - B ＜ 0,则A ＜ B
【知识点】
分式加减运算、完全平方公式、作差法比较大小
【点评】
本题结合分式运算与整式变形，重点考察作差法比较大小的方法，既巩固了代数运算能力，又帮助理解比较大小的逻辑思路，适合夯实基础。
【难度系数】
0.7

【解析】
例4
题目：计算$\frac{1}{x - 2}+\frac{2}{x + 2}$
解题步骤：
1. 确定最简公分母为$(x-2)(x+2)$，对两项通分：
原式$=\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}+\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
2. 合并分子：
$=\frac{x + 2+2x - 4}{(x + 2)(x - 2)}$
3. 化简分子并整理分母：
$=\frac{3x - 2}{x^{2}-4}$
例5
题目：计算$\frac{a}{a - 1}-\frac{3a - 1}{a^{2}+3a - 4}$
解题步骤：
1. 对分母$a^{2}+3a - 4$因式分解：$a^{2}+3a - 4=(a - 1)(a + 4)$
2. 确定最简公分母为$(a-1)(a+4)$，通分：
原式$=\frac{a(a + 4)}{(a - 1)(a + 4)}-\frac{3a - 1}{(a - 1)(a + 4)}$
3. 合并分子并去括号：
$=\frac{a(a + 4)-(3a - 1)}{(a - 1)(a + 4)}$
$=\frac{a^{2}+4a - 3a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
4. 化简分子：
$=\frac{a^{2}+a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
【答案】
例4：$\frac{3x - 2}{x^{2}-4}$；
例5：$\frac{a^{2}+a + 1}{(a - 1)(a + 4)}$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是通过因式分解确定最简公分母后进行通分计算，运算过程中需注意符号规则和整式运算的准确性，是分式运算的基础题型。
【难度系数】
0.6

【解析】
比较分式大小的方法主要有以下几种：
1. 同分母分式：当两个分式的分母相同，比较分子的大小，分子大的分式较大，即若$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$（其中$c＞0$）当且仅当$a ＞ b$。
2. 同分子分式：当两个分式的分子相同，分母小的分式较大，即若$\frac{a}{b} ＞ \frac{a}{c}$（其中$a＞0$）当且仅当$b ＜ c$。
3. 差值法：比较两个分式$ \frac{a}{b} $与$ \frac{c}{d} $的大小，可以通过计算其差：若$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} ＞ 0$（其中$bd＞0$），则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
4. 商值法：对于两个正分式$ \frac{a}{b} $和$ \frac{c}{d} $，可以通过计算其商：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a · d}{b · c} ＞ 1$，则$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$。
5. 通分法：将两个分式的分母化为相同，然后比较分子的大小。
【答案】
比较分式大小的方法主要有以下几种：
1. 同分母分式（$c＞0$）：分子大的分式大，即$\frac{a}{c}＞\frac{b}{c}$当且仅当$a＞b$；
2. 同分子分式（$a＞0$）：分母小的分式大，即$\frac{a}{b}＞\frac{a}{c}$当且仅当$b＜c$；
3. 差值法（$bd＞0$）：若$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}＞0$，则$\frac{a}{b}＞\frac{c}{d}$；
4. 商值法（正分式）：若$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}＞1$，则$\frac{a}{b}＞\frac{c}{d}$；
5. 通分法：化为同分母后比较分子大小。
【知识点】
分式大小比较、差值法、通分法
【点评】
本题考查分式大小比较的常用方法，需根据分式的不同形式灵活选择合适的方法，理解每种方法的适用条件是掌握此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

【解析】
(1) 用作差法比较大小：
$\begin{aligned}\frac{b}{a} - \frac{b+1}{a+1}&=\frac{b(a+1)-a(b+1)}{a(a+1)}\\&=\frac{ab + b - ab - a}{a(a+1)}\\&=\frac{b - a}{a(a+1)}\end{aligned}$
因为$a＞b＞0$，所以$b - a＜0$，$a(a+1)＞0$，则$\frac{b - a}{a(a+1)}＜0$，故$\frac{b}{a}＜\frac{b+1}{a+1}$。
(2) 用作差法比较大小：
$\begin{aligned}M - N&=\frac{a+2}{a+3} - \frac{a+3}{a+4}\\&=\frac{(a+2)(a+4)-(a+3)^2}{(a+3)(a+4)}\\&=\frac{a^2+6a+8 - (a^2+6a+9)}{(a+3)(a+4)}\\&=\frac{-1}{(a+3)(a+4)}\end{aligned}$
因为$a＞0$，所以$(a+3)(a+4)＞0$，则$\frac{-1}{(a+3)(a+4)}＜0$，故$M＜N$。
【答案】
(1) ＜ (2) ＜
【知识点】
分式大小比较，作差法比较大小
【点评】
本题考查分式的大小比较，通过作差法将分式大小比较转化为对差的符号判断，需熟练掌握作差法的步骤及分式符号的分析方法。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 验证淇淇的结论：
当$x=2$时，$M=\frac{2+2}{2}=2$，$N=\frac{4×2}{2+2}=2$，故$M=N$，淇淇的结论正确。
2. 验证嘉嘉的结论：
计算$M-N$：
$M-N=\frac{x+2}{2}-\frac{4x}{x+2}=\frac{(x+2)^2-8x}{2(x+2)}=\frac{x^2+4x+4-8x}{2(x+2)}=\frac{(x-2)^2}{2(x+2)}$。
当$x＞0$时，分母$2(x+2)＞0$，分子$(x-2)^2≥0$，当$x=2$时，$M-N=0$，并非$M-N＞0$恒成立，故嘉嘉的结论错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的运算，代数式比较大小
【点评】
本题考查分式的化简与求值，通过代入求值和作差法比较大小，需注意平方数的非负性对结果的影响。
【难度系数】
0.6

【解析】
设下坡路程为$ s $，则上坡路程为$ 3s $；设上坡速度为$ v $，则下坡速度为$ 2v $。
1. 上学时间：先上坡后下坡，$ t_{上}=\frac{3s}{v}+\frac{s}{2v}=\frac{6s+s}{2v}=\frac{7s}{2v} $。
2. 放学时间：原上坡变下坡，原下坡变上坡，$ t_{放}=\frac{s}{v}+\frac{3s}{2v}=\frac{2s+3s}{2v}=\frac{5s}{2v} $。
因为$ \frac{7s}{2v}＞\frac{5s}{2v} $，所以放学回家路上所用时间少。
【答案】
B
【知识点】
行程问题基本公式、代数式比较大小
【点评】
本题通过设未知数构建代数式，利用行程问题中时间=路程÷速度的公式，分别计算上学和放学的时间并比较大小，考查对行程公式的灵活运用，关键是明确往返时上下坡路程的转换。
【难度系数】
0.7