第79页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

解： $\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{a^{2}+2ab + b^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}$  
∵ $b ＞ a ＞ 0，$  
∴ $a + b ＞ 0，$$(a - b)^{2} ＞ 0，$  
∴ $\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b} ＞ 0，$  
∴ $\frac{a + b}{2} ＞ \frac{2ab}{a + b}$

$\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}$

$\frac{2025}{2026}$

B

(1)证明：$\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}=\frac{(m + 1)-m}{m(m + 1)}=\frac{1}{m(m + 1)}$，

与左边相等，猜想成立。

$\frac{a + b}{2}$

$\frac{2ab}{a + b}$

解：$Q_{1}-Q_{2}=\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}.$

∵ $a ≠ b，$

∴ $(a - b)^{2} ＞ 0.$ 由题意可知$a ＞ 0，$$b ＞ 0，$

∴ $a + b ＞ 0，$

∴ $Q_{1}-Q_{2} ＞ 0，$

∴ $Q_{1} ＞ Q_{2}，$

∴ 乙的平均单价更便宜

【解析】
$\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{a^{2}+2ab + b^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}$
∵ $b ＞ a ＞ 0$，
∴ $a + b ＞ 0$，$(a - b)^{2} ＞ 0$，
∴ $\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}＞0$，
∴ $\frac{a + b}{2}＞\frac{2ab}{a + b}$
【答案】
$\frac{a + b}{2}＞\frac{2ab}{a + b}$
【知识点】
作差法比较大小、分式化简、完全平方公式
【点评】
本题考查利用作差法比较两个分式的大小，核心是通过通分和完全平方公式化简差式，结合已知条件判断差的正负来确定式子大小关系，属于基础代数题型。
【难度系数】
0.7

【解析】
(1) 猜想：$\frac{1}{m(m + 1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}$。
证明：$\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}=\frac{(m + 1)-m}{m(m + 1)}=\frac{1}{m(m + 1)}$，与左边相等，猜想成立。
(2) 利用裂项相消法计算：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$
$=1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1 - \frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$
【答案】
(1) $\frac{1}{m}-\frac{1}{m + 1}$；证明见解析
(2) $\frac{2025}{2026}$
【知识点】
分式裂项相消，分式通分化简
【点评】
本题通过观察等式归纳裂项公式，再用裂项相消法简化求和运算，考查归纳推理能力与分式运算能力，规律应用明确，易于理解。
【难度系数】
0.7

【解析】
甲从A到C的总路程为 $100 + 200 = 300$ m，根据“时间=路程÷速度”，甲到达C地的时间为 $\frac{300}{a}$ min；
乙从B到C的路程为200 m，乙到达C地的时间为 $\frac{200}{b}$ min。
比较两人时间的大小，作差得：
$\frac{300}{a} - \frac{200}{b} = \frac{300b - 200a}{ab} = \frac{100(3b - 2a)}{ab}$
因为速度 $a＞0$，$b＞0$，且 $3b＞2a$，所以 $3b-2a＞0$，$ab＞0$，则 $\frac{100(3b - 2a)}{ab} ＞ 0$，即 $\frac{300}{a} ＞ \frac{200}{b}$。
说明甲用的时间比乙长，故乙先到C地。
【答案】
B
【知识点】
行程问题、作差法比较大小、分式运算
【点评】
本题结合行程问题考查分式的应用与作差法比较大小，核心是根据路程、速度、时间的关系表示出两人的到达时间，再利用已知条件判断时间长短，解题关键是掌握作差法比较两个正数大小的方法。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 甲两次加油的总费用为$40a + 40b$元，总油量为$40 + 40 = 80$L，根据平均单价=总费用÷总油量，可得$Q_1=\frac{40a + 40b}{80}=\frac{a + b}{2}$；
乙两次加油的总油量为$\frac{200}{a} + \frac{200}{b}$L，总费用为$200 + 200 = 400$元，同理可得$Q_2=\frac{400}{\frac{200}{a} + \frac{200}{b}}=\frac{2ab}{a + b}$。
(2) 用作差法比较$Q_1$与$Q_2$的大小：
$Q_1 - Q_2 = \frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{2(a + b)} = \frac{(a - b)^2}{2(a + b)}$，
因为$a≠b$，所以$(a - b)^2 ＞ 0$，又因为$a$、$b$是汽油单价，故$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$a + b ＞ 0$，
所以$\frac{(a - b)^2}{2(a + b)} ＞ 0$，即$Q_1 - Q_2 ＞ 0$，$Q_1 ＞ Q_2$，因此乙加的汽油更便宜。
【答案】
(1) $\frac{a + b}{2}$；$\frac{2ab}{a + b}$
(2) 乙加的汽油更便宜，理由见解析。
【知识点】
分式的化简求值；作差法比较大小；平均数计算
【点评】
本题考查分式在实际问题中的应用，核心是通过计算平均单价，利用作差法比较大小，需熟练掌握分式通分变形及正数的性质，提升实际问题的数学建模能力。
【难度系数】
0.6