第81页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$解：原式=-(\frac{3a^{2}·ab^{2}·6b}{b·a^{3}b·a^{2}})$

$=-\frac{18a^{3}b^{3}}{a^{5}b^{2}}$

$=-\frac{18b}{a^{2}}$

$解：原式=\frac{x + y}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}·(x^2+y^2)$ $=\frac{x + y}{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}·(x^2+y^2)$ $=\frac{1}{x - y}$

$3xy^{2}$

$\frac{x}{2}$

$-\frac{y}{x}$

$-\frac{8}{27x^{3}}$

$-ab$

$\frac{a - 2}{a + 1}$

$-1$

$解：原式=\frac{5(a - 2)}{9a^{3}b}·\frac{6ab}{(a + 2)(a - 2)}$

$=\frac{5×6}{9a^{2}(a + 2)}$

$=\frac{10}{3a^{3}+6a^{2}}$

$解：原式=144x^{8}y^{2}÷(-\frac{27x^{6}}{y^{3}})$

$=144x^{8}y^{2}·(-\frac{y^{3}}{27x^{6}})$

$=-\frac{16x^{2}y^{5}}{3}$

$解：原式=(a - 5)·\frac{-(a - 5)(a + 5)}{(a - 5)^{2}}$

$=-a - 5$

$解：原式=\frac{2(x - 2)}{x(x + 3)}·\frac{(x + 3)^{2}}{x - 2}$

$=\frac{2x + 6}{x}$

 证明：$a\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) + b\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}\right) + c\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$
$= \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$
$= \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} + \frac{a + b}{c}$

因为$a + b + c = 0，$

所以$b + c = -a，$$a + c = -b，$$a + b = -c，$

则$\frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} + \frac{a + b}{c} = \frac{-a}{a} + \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} = -1 - 1 - 1 = -3，$

从而$a\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) + b\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}\right) + c\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) + 3 = -3 + 3 = 0$

【解析】
(1) 先确定运算符号，三个负号相乘结果为负，再将分子、分母分别相乘后约分：
$\frac{-3a^{2}}{b}·\frac{ab^{2}}{-a^{3}b}·(-\frac{6b}{a^{2}})$
$=-(\frac{3a^{2}·ab^{2}·6b}{b·a^{3}b·a^{2}})$
$=-\frac{18a^{3}b^{3}}{a^{5}b^{2}}$
$=-\frac{18b}{a^{2}}$
(2) 先将除法转化为乘法，再对分母$x^4-y^4$利用平方差公式因式分解，最后约分：
$\frac{x + y}{x^{4}-y^{4}}÷\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$
$=\frac{x + y}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}·(x^2+y^2)$
$=\frac{x + y}{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}·(x^2+y^2)$
$=\frac{1}{x - y}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{18b}{a^{2}}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{x - y}}$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题考查分式的乘除运算，解题关键是熟练掌握分式乘除运算法则，正确处理符号，利用因式分解进行约分，计算时需注意细心严谨，避免出错。
【难度系数】
0.7

【解析】
(1) 根据单项式乘分式的运算法则，系数与系数相乘，同底数幂分别相乘：
$6x^{2}y^{4}·\frac{1}{2xy^{2}}=\frac{6}{2}·x^{2-1}·y^{4-2}=3xy^{2}$；
(2) 根据分式除法法则，将除法转化为乘法，再约分：
$\frac{2}{xy}÷\frac{4}{x^{2}y}=\frac{2}{xy}·\frac{x^{2}y}{4}=\frac{2x^{2}y}{4xy}=\frac{x}{2}$；
(3) 先将分母$y-2x$变形为$-(2x-y)$，再约分：
$\frac{2x - y}{x}·\frac{y}{y - 2x}=\frac{2x - y}{x}·\frac{y}{-(2x - y)}=-\frac{y}{x}$；
(4) 根据分式乘方法则，分子、分母分别乘方，注意符号：
$(\frac{2}{-3x})^{3}=\frac{2^{3}}{(-3x)^{3}}=\frac{8}{-27x^{3}}=-\frac{8}{27x^{3}}$；
(5) 根据分式除法法则，转化为乘法运算后约分：
$-a^{3}÷\frac{a^{2}}{b}=-a^{3}·\frac{b}{a^{2}}=-ab$；
(6) 先对分子、分母因式分解，再约分：
$\frac{a^{2}-4}{a^{2}+2a + 1}·\frac{a + 1}{a + 2}=\frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)^{2}}·\frac{a + 1}{a + 2}=\frac{a - 2}{a + 1}$。
【答案】
(1) $3xy^{2}$；(2) $\frac{x}{2}$；(3) $-\frac{y}{x}$；(4) $-\frac{8}{27x^{3}}$；(5) $-ab$；(6) $\frac{a - 2}{a + 1}$
【知识点】
分式乘除运算、分式的乘方、因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，涵盖分式乘除、乘方等核心运算，重点考查运算中的符号处理、因式分解的应用及约分的准确性，能有效巩固分式运算的基本法则。
【难度系数】
0.8

【解析】
先对$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$通分：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y - x}{xy}$
已知$x - y = xy$，则$y - x = -xy$，代入上式：
$\frac{y - x}{xy}=\frac{-xy}{xy}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式通分，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题考查分式的运算及整体代入思想的应用，通过对分式通分后，利用已知条件进行整体代换即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【解析】
(1) 先对分子分母因式分解，再根据分式乘法法则计算约分：
$\frac{5a - 10}{9a^{3}b}·\frac{6ab}{a^{2}-4}=\frac{5(a - 2)}{9a^{3}b}·\frac{6ab}{(a + 2)(a - 2)}$，约去公因式$(a-2)$、$ab$，计算得$\frac{5×6}{9a^{2}(a + 2)}=\frac{10}{3a^{3}+6a^{2}}$。
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
$(-12x^{4}y)^{2}÷(-\frac{3x^{2}}{y})^{3}=144x^{8}y^{2}÷(-\frac{27x^{6}}{y^{3}})=144x^{8}y^{2}·(-\frac{y^{3}}{27x^{6}})$，约分计算得$-\frac{16x^{2}y^{5}}{3}$。
(3) 先对分子分母因式分解，再约分计算：
$(a - 5)·\frac{25 - a^{2}}{a^{2}-10a + 25}=(a - 5)·\frac{-(a - 5)(a + 5)}{(a - 5)^{2}}$，约去公因式$(a-5)^2$，计算得$-a - 5$。
(4) 先将除法转化为乘法，因式分解后约分计算：
$\frac{2x - 4}{x^{2}+3x}÷\frac{x - 2}{x^{2}+6x + 9}=\frac{2(x - 2)}{x(x + 3)}·\frac{(x + 3)^{2}}{x - 2}$，约去公因式$(x-2)$、$(x+3)$，计算得$\frac{2x + 6}{x}$。
【答案】
(1) $\frac{10}{3a^{3} + 6a^{2}}$；(2) $-\frac{16x^{2}y^{5}}{3}$；(3) $-a - 5$；(4) $\frac{2x + 6}{x}$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算与幂的运算，解题关键是先通过因式分解确定公因式，再结合分式运算法则与幂运算规则化简，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.5

【解析】
先展开原式：
$a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$
重新分组得：
$= \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} + \frac{a + b}{c}$
由$a + b + c = 0$得$b + c = -a$，$a + c = -b$，$a + b = -c$，代入上式：
$= \frac{-a}{a} + \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} = -1 - 1 - 1 = -3$
因此$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = -3$，移项可得$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+3 = 0$，得证。
【答案】
原式得证
【知识点】
分式化简运算、整体代入思想
【点评】
本题考查分式的化简变形及整体代入思想的应用，解题核心是利用$a+b+c=0$将相关代数式进行替换，简化计算过程。
【难度系数】
0.6