第83页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

一

分式的性质

二

去括号时未变号

$\frac{1}{x + 2}$

$\frac{3}{5}$

2

7

$解：原式=(xy - x^2)·\frac{xy}{x^2 - 2xy + y^2}·\frac{x - y}{x^2}$

$=-x(x - y)·\frac{xy}{(x - y)^2}·\frac{x - y}{x^2}$

$=\frac{-x(x - y)·xy·(x - y)}{(x - y)^2·x^2}$

$=-y$

$解：原式=1 - (\frac{x(1 - x) - 1}{1 - x})^2 ÷ \frac{x^2 - x + 1}{(x - 1)^2}$

$=1 - (\frac{x - x^2 - 1}{1 - x})^2 · \frac{(x - 1)^2}{x^2 - x + 1}$

$=1 - (\frac{-(x^2 - x + 1)}{1 - x})^2 · \frac{(1 - x)^2}{x^2 - x + 1}$

$=1 - \frac{(x^2 - x + 1)^2}{(1 - x)^2} · \frac{(1 - x)^2}{x^2 - x + 1}$

$=1 - (x^2 - x + 1)$

$=-x^2 + x$

解：原式$=\left( \frac{a+1}{a-1} + \frac{1}{(a-1)^2} \right) \div \frac{a}{a - 1}$
$=\left[ \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} + \frac{1}{(a-1)^2} \right] \times \frac{a - 1}{a}$
$=\frac{(a^2 - 1) + 1}{(a-1)^2} \times \frac{a - 1}{a}$
$=\frac{a^2}{(a-1)^2} \times \frac{a - 1}{a}$
$=\frac{a}{a - 1}$
要使原式有意义，分母不能为0，即$a-1 ≠ 0$且$a ≠ 0$，

故$a$不能取0和1。选取$a=2$代入化简后的式子，得$\frac{2}{2-1}=2$

解：$原式=\frac{a - 2}{(a - 1)(a + 1)} \div [\frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1} - \frac{2a - 1}{a + 1}]$

$=\frac{a - 2}{(a - 1)(a + 1)} \div \frac{a^2 - 1 - (2a - 1)}{a + 1}$

$=\frac{a - 2}{(a - 1)(a + 1)} \div \frac{a^2 - 2a}{a + 1}$

$=\frac{a - 2}{(a - 1)(a + 1)} \times \frac{a + 1}{a(a - 2)}$

$=\frac{1}{a(a - 1)}$

$=\frac{1}{a^2 - a}$

因为$a^2 - a - 6 = 0，$所以$a^2 - a = 6，$则原式$=\frac{1}{6}$

【解析】
(1) ① 第一步是通分，将$\frac{1}{x+2}$转化为$\frac{x-2}{x^2-4}$，通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；
② 第二步开始出现错误，在计算分子$x-(x-2)$时，去括号应该得到$x-x+2$，错误原因是去括号时未变号；
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}&(\frac{x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) ÷ \frac{2}{x - 2}\\=&(\frac{x}{x^{2} - 4} - \frac{x - 2}{x^{2} - 4}) · \frac{x - 2}{2}\\=&\frac{x - (x - 2)}{x^{2} - 4} · \frac{x - 2}{2}\\=&\frac{2}{(x + 2)(x - 2)} · \frac{x - 2}{2}\\=&\frac{1}{x + 2}\end{aligned}$
【答案】
(1) ① 一；分式的基本性质 ② 二；去括号时未变号 (2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{x + 2}}$
【知识点】
分式的混合运算；分式的基本性质；去括号法则
【点评】
本题主要考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式运算的步骤和法则，特别注意运算中的符号问题，避免因去括号时未正确变号导致错误。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 由$\frac{a}{b}=2$得$a=2b$，将其代入分式：
分子：$a^2 - ab + b^2=(2b)^2 - 2b· b + b^2=4b^2-2b^2+b^2=3b^2$，
分母：$a^2 + b^2=(2b)^2 + b^2=4b^2+b^2=5b^2$，
则$\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + b^2}=\frac{3b^2}{5b^2}=\frac{3}{5}$；
(2) 对$x+\frac{1}{x}=2$两边平方：
$(x+\frac{1}{x})^2=x^2 + 2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}=4$，
移项得$x^2+\frac{1}{x^2}=4-2=2$；
(3) 由$a^2 - 3a + 1=0$，可知$a≠0$，两边同除以$a$得$a - 3 + \frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=3$，
对其平方：$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a·\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=a^2+2+\frac{1}{a^2}=9$，
移项得$a^2+\frac{1}{a^2}=9-2=7$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{5}$；(2) $2$；(3) $7$
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式应用
【点评】
本题通过已知条件转化所求式子，利用整体代入法求解，考查了分式运算与完全平方公式的灵活运用，需注意式子变形的技巧。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}原式&=(xy - x^2)·\frac{xy}{x^2 - 2xy + y^2}·\frac{x - y}{x^2}\\&=-x(x - y)·\frac{xy}{(x - y)^2}·\frac{x - y}{x^2}\\&=\frac{-x(x - y)·xy·(x - y)}{(x - y)^2·x^2}\\&=-y\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的分式加减，再算乘方、除法，最后算减法：
$\begin{aligned}原式&=1 - (\frac{x(1 - x) - 1}{1 - x})^2 ÷ \frac{x^2 - x + 1}{(x - 1)^2}\\&=1 - (\frac{x - x^2 - 1}{1 - x})^2 · \frac{(x - 1)^2}{x^2 - x + 1}\\&=1 - (\frac{-(x^2 - x + 1)}{1 - x})^2 · \frac{(1 - x)^2}{x^2 - x + 1}\\&=1 - \frac{(x^2 - x + 1)^2}{(1 - x)^2} · \frac{(1 - x)^2}{x^2 - x + 1}\\&=1 - (x^2 - x + 1)\\&=-x^2 + x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-y}$；(2) $\boldsymbol{-x^2 + x}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的运算法则，遵循“先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序，灵活运用因式分解进行约分，注意运算过程中的符号变化。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 对括号内的代数式通分：
因为 $a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$，通分后得：
$ \frac{a+1}{a-1} + \frac{1}{(a-1)^2} = \frac{(a+1)(a-1) + 1}{(a-1)^2} $
2. 化简括号内的分子：
$ (a+1)(a-1)+1 = a^2 - 1 + 1 = a^2 $
则括号内的结果为 $\frac{a^2}{(a-1)^2}$
3. 将除法转化为乘法运算：
$ \frac{a^2}{(a-1)^2} ÷ \frac{a}{a-1} = \frac{a^2}{(a-1)^2} × \frac{a-1}{a} $
4. 约分得到化简结果：
$ \frac{a}{a-1} $
5. 确定$a$的取值范围：
要使原式有意义，分母不能为0，即$a-1 ≠ 0$且$a ≠ 0$，故$a$不能取0和1。
选取$a=2$（符合条件）代入化简后的式子，得$\frac{2}{2-1}=2$（$a$可取除0、1外的任意实数，代入值合理即可）
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{\dfrac{a}{a - 1}}$；当$a=2$时，原式的值为2（$a$不能取0和1，取值不唯一）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查分式的化简求值，需熟练掌握分式通分、约分的运算法则，同时要注意分式有意义的条件，避免选取使原式无意义的$a$值代入计算。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 对原式括号内的部分通分计算：
括号内$a - 1 - \frac{2a - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1} - \frac{2a - 1}{a + 1} = \frac{a^2 - 1 - (2a - 1)}{a + 1} = \frac{a^2 - 2a}{a + 1} = \frac{a(a - 2)}{a + 1}$；
2. 对原式分母因式分解：$a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)$；
3. 将除法转化为乘法并约分：
原式$= \frac{a - 2}{(a + 1)(a - 1)} ÷ \frac{a(a - 2)}{a + 1} = \frac{a - 2}{(a + 1)(a - 1)} × \frac{a + 1}{a(a - 2)} = \frac{1}{a^2 - a}$；
4. 由$a^2 - a - 6 = 0$得$a^2 - a = 6$，代入化简后的式子得：原式$=\frac{1}{6}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{a^{2} - a}$，求值结果为$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式的化简求值，因式分解，整体代入法
【点评】
本题重点考查分式的运算及整体代入思想，需熟练掌握分式通分、约分的方法，通过整体代入可避免求解a的具体值，简化计算过程。
【难度系数】
0.6