第95页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

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$a$

$-a$

$a$

$-a$

解：$(\sqrt{\frac{1}{3}})^2=\frac{1}{3}$，$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，所以二者相等。

解：不一定相等，理由：当$a ≥ 0$时，$(\sqrt{a})^{2} = a，$$\sqrt{a^{2}} = a，$此时相等；当$a ＜ 0$时，$(\sqrt{a})^{2}$无意义，$\sqrt{a^{2}} = -a，$此时不相等。

D

1

解：发现：$\sqrt{a^2}=|a|$

解：$\sqrt{a^{2}} = |a|$

【解析】
1. 计算各小题：
(1) $\sqrt{2^{2}}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{5^{2}}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt{10^{2}}=\sqrt{100}=10$；
(2) $\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5$，$\sqrt{(-10)^{2}}=\sqrt{100}=10$，$\sqrt{0^{2}}=\sqrt{0}=0$。
2. 总结发现：对于任意实数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。当$a＞0$时，结果为$a$；当$a=0$时，结果为0；当$a＜0$时，结果为$-a$。
【答案】
(1) 2，5，10；(2) 2，5，10，0
发现：$\sqrt{a^2}=|a|$（或一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，正数的结果是它本身，负数的结果是它的相反数，0的结果是0）
【知识点】
算术平方根的性质
【点评】
本题通过具体计算实例引导学生探究算术平方根的性质，帮助学生理解$\sqrt{a^2}$的化简规律，是二次根式入门的基础题型，能夯实学生对二次根式的初步认知。
【难度系数】
0.9

【解析】
1. (1) 根据二次根式的性质，当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}$等于$a$本身；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}$等于$a$的相反数$-a$。
(2) 根据绝对值的定义，非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以当$a≥0$时，$|a|=a$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。
(3) 对比(1)(2)的结果，可得出$\sqrt{a^2}=|a|$。
2. (1) 计算可得：$(\sqrt{\dfrac{1}{3}})^2=\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$，所以二者相等。
(2) 分情况讨论：
① 当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，$\sqrt{a^2}=a$，此时二者相等；
② 当$a＜0$时，$\sqrt{a}$无意义，故$(\sqrt{a})^2$不存在，而$\sqrt{a^2}=-a$，此时二者不相等。
因此$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$不一定相等。
【答案】
1. (1) $a$；$-a$
(2) $a$；$-a$
(3) $\sqrt{a^{2}} = |a|$
2. (1) 相等
(2) 不一定相等，理由：当$a ≥ 0$时，$(\sqrt{a})^{2} = a$，$\sqrt{a^{2}} = a$，此时相等；当$a ＜ 0$时，$(\sqrt{a})^{2}$无意义，$\sqrt{a^{2}} = -a$，此时不相等。
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的定义；分类讨论思想
【点评】
本题通过对比二次根式的性质与绝对值的定义，加深对二次根式相关运算的理解，同时考查分类讨论思想的运用，帮助学生理清不同情况下二次根式运算的区别与联系。
【难度系数】
0.6

【解析】
先计算根号内的乘方：$(-3)^2=9$，
再根据二次根式的性质，$\sqrt{9}=3$，因此$\sqrt{(-3)^{2}}$的值是3。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、有理数的乘方
【点评】
本题考查二次根式的非负性与有理数乘方运算，需注意二次根式的结果为非负数，避免因忽略非负性误选错误选项。
【难度系数】
0.9

【解析】
由数轴可知$1 ＜ a ＜ 2$，因此$a - 1 ＞ 0$，$a - 2 ＜ 0$。
根据绝对值的性质：$|a - 1| = a - 1$；
根据二次根式的性质：$\sqrt{(a - 2)^2} = |a - 2| = 2 - a$。
则原式$=(a - 1) + (2 - a) = a - 1 + 2 - a = 1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的性质；数轴与实数的对应
【点评】
本题结合数轴考查了绝对值与二次根式的化简，解题关键是根据数轴确定$a$的取值范围，再利用相关性质去掉绝对值和根号进行计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8