第109页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

C

D

$ - 2 ＜ x ≤ 3 $

$ - 1 $

＜

＞

解：$原式 = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2×\frac{\sqrt{2}}{2} $

$= 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2} $

$= \sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

解：$原式 = 5×3×\sqrt{\frac{8}{27}×\frac{5}{3}×54} $

$= 15×\sqrt{\frac{80}{3}} $

$= 15×\frac{4\sqrt{15}}{3} $

$= 20\sqrt{15}$

解：$原式= (5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) ÷ \sqrt{2} $

$= 3\sqrt{2} ÷ \sqrt{2} $

$= 3$

解：$原式 = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{4} $

$= \frac{4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}}{4} $

$= \frac{8}{4} $

$= 2$

B

A

D

【解析】
要使二次根式$\sqrt{1 + 2x}$有意义，需被开方数为非负数，即：
$1 + 2x ≥ 0$
解不等式得：$2x ≥ -1$，$x ≥ -\dfrac{1}{2}$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的基本性质，明确二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题关键，属于基础题。
【难度系数】
0.9

【解析】
最简二次根式需满足两个条件：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$的被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{5}$的被开方数5是质数，不含分母且无开得尽方的因数，是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数25，不是最简二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题考查最简二次根式的判断，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，通过逐一分析选项即可得出正确结论。
【难度系数】
0.8

【解析】
逐个分析选项：
A. $\sqrt{25}$ 表示25的算术平方根，算术平方根为非负数，故$\sqrt{25}=5$，A错误；
B. 先化简$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，则$4\sqrt{3}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}≠1$，B错误；
C. 根据二次根式除法法则，$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3≠9$，C错误；
D. 根据二次根式乘法法则，$\sqrt{24}×\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{24×\dfrac{3}{2}}=\sqrt{36}=6$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 算术平方根的定义；2. 二次根式的加减运算；3. 二次根式的乘除运算
【点评】
本题考查二次根式的运算及算术平方根的定义，需熟练掌握二次根式的化简与运算法则，区分算术平方根与平方根的概念，避免概念性错误。
【难度系数】
0.8

【解析】
要使等式$\sqrt{\dfrac{3 - x}{x + 2}} = \dfrac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x + 2}}$成立，需满足：
1. 分子中二次根式有意义：$3 - x ≥ 0$，解得$x ≤ 3$；
2. 分母中二次根式有意义且分母不为0：$x + 2 ＞ 0$，解得$x ＞ -2$。
取两个不等式的交集，得$-2 ＜ x ≤ 3$。
【答案】
$-2 ＜ x ≤ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式除法法则
【点评】
本题考查二次根式相关等式成立的条件，需同时满足分子被开方数非负、分母被开方数为正数（分母不能为0），容易忽略分母的正数要求，需格外注意。
【难度系数】
0.6

【解析】
要使二次根式有意义，需被开方数为非负数，因此：
$\begin{cases}x - 1 ≥ 0 \\1 - x ≥ 0\end{cases}$
解得$x = 1$。
将$x = 1$代入$y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} - 2$，得：
$y = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} - 2 = -2$。
则$x + y = 1 + (-2) = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题关键是根据被开方数非负确定x的取值，再代入计算代数式的值，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【解析】
1. 比较$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$：
对两数分别平方：
$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^2=9×2=18$，
因为$12＜18$，且$2\sqrt{3}＞0$，$3\sqrt{2}＞0$，所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$。
2. 比较$\sqrt{13}-\sqrt{2}$与$\sqrt{17}-\sqrt{6}$：
对两数进行分子有理化：
$\sqrt{13}-\sqrt{2}=\frac{(\sqrt{13}-\sqrt{2})(\sqrt{13}+\sqrt{2})}{\sqrt{13}+\sqrt{2}}=\frac{11}{\sqrt{13}+\sqrt{2}}$，
$\sqrt{17}-\sqrt{6}=\frac{(\sqrt{17}-\sqrt{6})(\sqrt{17}+\sqrt{6})}{\sqrt{17}+\sqrt{6}}=\frac{11}{\sqrt{17}+\sqrt{6}}$，
因为$\sqrt{13}+\sqrt{2}＜\sqrt{17}+\sqrt{6}$，分子相同，分母越小分数越大，所以$\frac{11}{\sqrt{13}+\sqrt{2}}＞\frac{11}{\sqrt{17}+\sqrt{6}}$，即$\sqrt{13}-\sqrt{2}＞\sqrt{17}-\sqrt{6}$。
【答案】
＜＞
【知识点】
二次根式比较大小，分子有理化
【点评】
本题考查二次根式的大小比较，对于正的根式可通过平方比较，对于根式差式可利用分子有理化转化为分式比较，掌握这两种方法是解题核心。
【难度系数】
0.6

【解析】
（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式：
$\sqrt{8} + \sqrt{\dfrac{1}{3}} - 2\sqrt{\dfrac{1}{2}} = 2\sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - 2×\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2} = \sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
（2）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简：
$5\sqrt{\dfrac{8}{27}} × \sqrt{1\dfrac{2}{3}} × 3\sqrt{54} = 5×3×\sqrt{\dfrac{8}{27}×\dfrac{5}{3}×54} = 15×\sqrt{\dfrac{80}{3}} = 15×\dfrac{4\sqrt{15}}{3} = 20\sqrt{15}$
（3）利用分配律或先化简括号内根式再计算：
方法一：$(\sqrt{50} - \sqrt{8}) ÷ \sqrt{2} = (5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) ÷ \sqrt{2} = 3\sqrt{2} ÷ \sqrt{2} = 3$
方法二：$(\sqrt{50} - \sqrt{8}) ÷ \sqrt{2} = \sqrt{50}÷\sqrt{2} - \sqrt{8}÷\sqrt{2} = \sqrt{25} - \sqrt{4} = 5 - 2 = 3$
（4）利用完全平方公式展开后合并：
$(\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 = \dfrac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{4} + \dfrac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{4} = \dfrac{4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$
【答案】
(1) $\sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$；(2) $20\sqrt{15}$；(3) $3$；(4) $2$
【知识点】
二次根式的混合运算，二次根式的化简，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的四则混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的化简法则、同类二次根式的合并方法以及乘法公式的应用，计算时需注意运算顺序与符号的准确性。
【难度系数】
0.6

【解析】
先确定$\sqrt{3}$的取值范围：因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，又因为$3$更接近$4$，可得$\sqrt{3}\approx1.732$，因此与$\sqrt{3}$最接近的整数是$2$。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算
【点评】
本题考查无理数的估算，通过对比被开方数与相邻整数平方数的大小来确定无理数的近似范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

【解析】
由数轴可知，$5 ＜ a ＜ 10$，
则$a - 4 ＞ 0$，$a - 11 ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(a - 4)^2} + \sqrt{(a - 11)^2}=|a - 4| + |a - 11|$
去绝对值符号：
$=(a - 4) + (11 - a)$
计算得：
$=a - 4 + 11 - a = 7$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题需先根据数轴确定实数$a$的取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简，核心是判断绝对值内代数式的正负性，从而正确去绝对值符号。
【难度系数】
0.8

【解析】
逐一分析各选项：
选项A：因为π＞3，所以π-3＞0，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(π - 3)^2}=π-3$，故A错误；
选项B：负整数指数幂运算，$(1 - \sqrt{2})^{-1}=\frac{1}{1-\sqrt{2}}$，分母有理化得$\frac{1×(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}=-1-\sqrt{2}$，故B错误；
选项C：零指数幂的性质为任何非零数的0次幂等于1，$\sqrt{3}-\sqrt{2}≠0$，所以$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^0=1$，故C错误；
选项D：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，计算得$(5\sqrt{3})^2-2×5\sqrt{3}×2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=75-20\sqrt{6}+8=83-20\sqrt{6}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式性质，零指数与负指数幂，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式、指数幂及完全平方公式的综合运算，需熟练掌握相关运算法则，注意运算中的符号与细节，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6