第108页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$a$

$\vert a\vert$

$\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$

解：$原式=5\sqrt{48÷3} - 6\sqrt{27÷3} + 4\sqrt{15÷3}$

$=5\sqrt{16} - 6\sqrt{9} + 4\sqrt{5}$

$=20 - 18 + 4\sqrt{5}$

$=2 + 4\sqrt{5}$

解：$原式=x^2×\frac{\sqrt{xy}}{x}$

$=x\sqrt{xy}$

解：$原式=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 + \sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{3}}$

$=3 + 6\sqrt{2} + 6 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

$=9 + 7\sqrt{2} + \sqrt{3}$

解：两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理数因式。

$\sqrt { 3 } + \sqrt { 2 }$

解：$原式=\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}+\frac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

$=\frac{4 - 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3}+ \frac{4\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}{3 - 2} $

$=7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{2} $

$= 7 + 4\sqrt{2}$

【解析】
本题考查二次根式的基本性质，根据二次根式的定义与性质填写：
1. $(\sqrt{a})^{2}$中，被开方数$a$需满足$a≥0$，结果为$a$；
2. $\sqrt{a^{2}}$的结果为$a$的绝对值$\vert a\vert$，保证结果非负；
3. 二次根式乘法性质：当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$；
4. 二次根式除法性质：当$a≥0,b＞0$时，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
【答案】
$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$；$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$；$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$；$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
这些性质是二次根式化简与运算的核心基础，要重点掌握每个性质的成立条件，避免因忽略条件导致计算错误。
【难度系数】
0.8

【解析】
（1）利用二次根式的除法分配律展开，再化简二次根式：
$\begin{aligned}&(5\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{15}) ÷ \sqrt{3}\\=&5\sqrt{48÷3} - 6\sqrt{27÷3} + 4\sqrt{15÷3}\\=&5\sqrt{16} - 6\sqrt{9} + 4\sqrt{5}\\=&20 - 18 + 4\sqrt{5}\\=&2 + 4\sqrt{5}\end{aligned}$
（2）先化简二次根式，再进行乘法运算：
$\begin{aligned}&x^2\sqrt{\dfrac{y}{x}}(x ＞ 0,y ≥ 0)\\=&x^2×\dfrac{\sqrt{xy}}{x}\\=&x\sqrt{xy}\end{aligned}$
（3）先利用完全平方公式计算第一部分，再利用乘法分配律计算第二部分，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 + \sqrt{6}(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}})\\=&(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 + \sqrt{6}×\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{6}×\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\=&3 + 6\sqrt{2} + 6 + \sqrt{3} + \sqrt{2}\\=&9 + 7\sqrt{2} + \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2 + 4\sqrt{5}}$；（2）$\boldsymbol{x\sqrt{xy}}$；（3）$\boldsymbol{9 + 7\sqrt{2} + \sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，涉及除法分配律、完全平方公式的应用，解题需熟练掌握二次根式的化简与运算法则，注意运算顺序及符号处理。
【难度系数】
0.6

【解析】
请仔细阅读课本第171页相关内容，从中提取互为有理化因式的定义。
【答案】
略
【知识点】
有理化因式的定义
【点评】
本题旨在引导学生通过阅读课本自主获取知识，培养自主学习能力。
【难度系数】
0.9

【解析】
(1) 依据有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，若积为有理数，则这两个代数式互为有理化因式。
因为$(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$（1为有理数），所以$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的有理化因式是$\sqrt{3} + \sqrt{2}$。
(2) 化简步骤如下：
① 对$\dfrac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$分母有理化，分子分母同乘$2 - \sqrt{3}$：
$\dfrac{(2 - \sqrt{3})^2}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \dfrac{4 - 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 7 - 4\sqrt{3}$；
② 对$\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3} + \sqrt{2}$：
$\dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \dfrac{4\sqrt{3} + 4\sqrt{2}}{3 - 2} = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$；
③ 合并两部分：
$7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{2} = 7 + 4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$；(2) $7 + 4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的有理化因式、二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，重点在于掌握有理化因式的定义和分母有理化的方法，运算过程中需注意公式的正确应用和计算准确性，是二次根式的基础题型。
【难度系数】
0.7