第122页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$证明：(1)在△AEM和△DEN中$

$ \begin{cases}∠NDE=∠MAE\\∠NED=∠MEA\\DE=AE\end{cases}$

$ ∴△DEN≌△AEM(\mathrm {AAS})$

$ ∴DN=AM$

$ ∵DN//AM$

$ ∴四边形AMDN是平行四边形$

$ (2)当AM=1时，四边形AMBN是矩形$

$ ∵AB=AD=2，AM=1，∠DAB=60°$

$ ∴∠DMA=90°$

$ ∴四边形AMDN是矩形$

$DE = \frac{1}{2}BC$，$DE // BC$

$135^{\circ}$

证明：如图③，取$DC$的中点$H$，连接$MH$，$NH$

$\because M$，$H$分别是$AD$，$DC$的中点，

$\therefore MH$是$△ ADC$的中位线

$\therefore MH // AC$且$MH = \frac{1}{2}AC$

同理可得$NH // BD$且$NH = \frac{1}{2}BD$

$\because EF = EG$

$\therefore ∠ EFG = ∠ EGF$

$\because NH // BD$，$MH // AC$

$\therefore ∠ EGF = ∠ HNM$，$∠ EFG = ∠ HMN$

$\therefore ∠ HMN = ∠ HNM$

$\therefore MH = NH$

$\therefore AC = BD$

【解析】
（1）证明：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠NDE=∠MAE$，
∵ $E$是$AD$的中点，
∴ $DE=AE$，
在$△ AEM$和$△ DEN$中，
$\begin{cases}∠NDE=∠MAE, \\∠NED=∠MEA, \\DE=AE,\end{cases}$
∴ $△ AEM≌△ DEN$（AAS），
∴ $AM=ND$，
又
∵ $AM// ND$，
∴ 四边形$AMDN$是平行四边形.
（2）解：当$AM=1$时，四边形$AMDN$是矩形，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$AB=2$，$∠DAB=60^{\circ}$，
∴ $AD=AB=2$，
∵ $E$是$AD$中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD=1$，
当$AM=1$时，$AM=AE$，
又
∵ $∠DAB=60^{\circ}$，
∴ $△ AEM$是等边三角形，
∴ $ME=AE=DE$，
∴ $∠EMD=∠EDM$，
∵ $∠AEM=∠EMD+∠EDM=60^{\circ}$，
∴ $∠EMD=30^{\circ}$，
∴ $∠AMD=∠AEM+∠EMD=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，
∵ 四边形$AMDN$是平行四边形，
∴ 平行四边形$AMDN$是矩形.
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$AM=1$，理由见上述解析.
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查菱形、平行四边形及矩形的性质与判定，需结合全等三角形、等边三角形的性质进行推理，灵活运用相关判定定理是解题核心。
【难度系数】
0.6

【解析】
(1) 根据三角形中位线定理直接得出结论；
(2) 连接$BD$，$\because E$，$F$分别是边$AB$，$AD$的中点，$\therefore BD = 2EF = 3$，$EF // BD$，$\therefore ∠ADB = ∠AFE = 45^{\circ}$。$\because BC = 5$，$CD = 4$，$\therefore BC^{2}=25$，$BD^{2}+CD^{2}=25$，$\therefore BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，$\therefore ∠BDC = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 135^{\circ}$；
(3) 取$DC$的中点$H$，连接$MH$，$NH$。$\because M$，$H$分别是$AD$，$DC$的中点，$\therefore MH$是$△ ADC$的中位线，$\therefore MH // AC$且$MH = \frac{1}{2}AC$。同理可得$NH // BD$且$NH = \frac{1}{2}BD$。$\because EF = EG$，$\therefore ∠EFG = ∠EGF$。$\because NH // BD$，$MH // AC$，$\therefore ∠EGF = ∠HNM$，$∠EFG = ∠HMN$，$\therefore ∠HMN = ∠HNM$，$\therefore MH = NH$，$\therefore AC = BD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE = \frac{1}{2}BC}$，$\boldsymbol{DE // BC}$
(2) $\boldsymbol{135^{\circ}}$
(3) 证明见上述解析
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理的应用，需结合勾股定理逆定理、等腰三角形判定等知识，锻炼几何推理与分析能力。
【难度系数】
0.6