第124页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

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$\frac{1}{2}$

解： $原式= 4(a^2 - 4) $

$= 4(a + 2)(a - 2)$

解：$原式 = 3m(n^2 - 2n + 1) $

$= 3m(n - 1)^2$

解：$原式 = (x^2)^2 - 9^2 $

$= (x^2 + 9)(x^2 - 9) $

$= (x^2 + 9)(x - 3)(x + 3)$

解：$原式= a^2(x - y) - b^2(x - y) $

$= (x - y)(a^2 - b^2) $

$= (x - y)(a + b)(a - b)$

解：$原式= (4x^2)^2 - 2 \times 4x^2 \times y^2 + (y^2)^2 $

$= (4x^2 - y^2)^2 $

$= [(2x + y)(2x - y)]^2 $

$= (2x + y)^2(2x - y)^2$

解：$原式= (x^2 + 4)^2 - (4x)^2 $

$= (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) $

$= (x + 2)^2(x - 2)^2$

 证明：原式$=2n(n+1)-2n(n-2)=2n(n+1-n+2)=6n$

$\therefore 2n(n+1)-n(2n-4)$一定能被3整除

【解析】
利用平方差公式分解因式：
$a^2 - b^2 + 2b=(a+b)(a-b)+2b$，
已知$a+b=1$，代入得：
$1×(a-b)+2b=a-b+2b=a+b$，
又因为$a+b=1$，所以原式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
平方差公式、整体代入法
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整体代入思想，通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式，简化计算，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

【解析】
1. 根据矩形周长公式，可得$2(x+y)=28$，化简得$x+y=14$，且$x＞0$，$y＞0$。
2. 对等式$x^{3}+x^{2}y - xy^{2}-y^{3}=0$进行因式分解：
分组得$(x^{3}+x^{2}y)-(xy^{2}+y^{3})=0$，
提取公因式得$x^{2}(x+y)-y^{2}(x+y)=0$，
再次提取公因式得$(x+y)(x^{2}-y^{2})=0$，
利用平方差公式分解得$(x+y)^{2}(x-y)=0$。
3. 因为$x$，$y$为矩形边长，$x＞0$，$y＞0$，所以$x+y≠0$，则$x-y=0$，即$x=y$。
4. 结合$x+y=14$，解得$x=y=7$，因此矩形的面积$S=xy=7×7=49$。
【答案】
49
【知识点】
矩形的性质、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是矩形性质与因式分解的综合题，核心是通过因式分解将高次方程转化为可求解的简单方程，结合矩形边长的正性确定边长关系，进而计算面积。
【难度系数】
0.6

【解析】
对原式进行配方：
$\begin{aligned}a^2 - 4a + b^2 + 2b + 5 &= 0\\(a^2 - 4a + 4) + (b^2 + 2b + 1) &= 0\\(a - 2)^2 + (b + 1)^2 &= 0\end{aligned}$
因为平方数具有非负性，即$(a - 2)^2 ≥ 0$，$(b + 1)^2 ≥ 0$，所以：
$\begin{cases}a - 2 = 0\\b + 1 = 0\end{cases}$
解得$a = 2$，$b = -1$。
则$a^b = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法、非负数的性质、负整数指数幂
【点评】
本题主要考查配方法的应用、非负数的性质及负整数指数幂的运算，需熟练掌握完全平方公式进行配方，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解字母的值，再代入计算负整数指数幂。
【难度系数】
0.6

【解析】
（1）先提取公因式4，再利用平方差公式分解：
$4a^{2}-16=4(a^{2}-4)=4(a+2)(a-2)$；
（2）先提取公因式3m，再利用完全平方公式分解：
$3mn^{2}-6mn + 3m=3m(n^{2}-2n+1)=3m(n-1)^2$；
（3）先利用平方差公式分解，再对其中的平方差项继续分解：
$x^{4}-81=(x^2)^2-9^2=(x^2+9)(x^2-9)=(x^2+9)(x-3)(x+3)$；
（4）先变形将$(y-x)$转化为$-(x-y)$，提取公因式$(x-y)$，再利用平方差公式分解：
$a^{2}(x - y)+b^{2}(y - x)=a^{2}(x - y)-b^{2}(x - y)=(x-y)(a^2-b^2)=(x-y)(a+b)(a-b)$；
（5）先利用完全平方公式分解，再对其中的平方差项继续分解：
$16x^{4}-8x^{2}y^{2}+y^{4}=(4x^2-y^2)^2=[(2x+y)(2x-y)]^2=(2x+y)^2(2x-y)^2$；
（6）先利用平方差公式分解，再对两个因式分别利用完全平方公式分解：
$(x^{2}+4)^{2}-16x^{2}=(x^2+4+4x)(x^2+4-4x)=(x+2)^2(x-2)^2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{4(a+2)(a-2)}$；
（2）$\boldsymbol{3m(n-1)^2}$；
（3）$\boldsymbol{(x^2+9)(x-3)(x+3)}$；
（4）$\boldsymbol{(x-y)(a+b)(a-b)}$；
（5）$\boldsymbol{(2x+y)^2(2x-y)^2}$；
（6）$\boldsymbol{(x+2)^2(x-2)^2}$。
【知识点】
提取公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，需熟练掌握提取公因式法、平方差公式和完全平方公式，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.6

【解析】
对原式进行化简：
原式$=2n(n + 1)-n(2n - 4)$
$=2n^2+2n-2n^2+4n$
$=6n$
因为$6n=3×2n$，且$n$为正整数，$2n$是正整数，所以$6n$是3的倍数，因此$2n(n + 1)-n(2n - 4)$一定能被3整除。
【答案】
$2n(n + 1)-n(2n - 4)$一定能被3整除。
【知识点】
整式的化简、整除的概念
【点评】
本题考查整式的运算及整除的判断，通过化简原式得到$6n$，结合$6$是3的倍数即可完成证明，需熟练掌握整式乘法与合并同类项法则。
【难度系数】
0.8