第127页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

B

C

D

C

±2

0

a+2

xy²(m−n)

(x+3)(x−3)

−$\frac{1}{2}$

3

6

【解析】
最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，据此逐一分析：
选项A：$\frac{4}{2x}$的分子分母有公因数2，可约分为$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
选项B：$\frac{2x}{x^2 + 1}$中，分母$x^2+1$无法因式分解，与分子$2x$无公因式，是最简分式；
选项C：$\frac{x - 1}{x^2 - 1}$的分母$x^2-1=(x-1)(x+1)$，与分子有公因式$x-1$，可约分为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
选项D：$\frac{1 - x}{x - 1}=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$，分子分母有公因式$x-1$，不是最简分式。
综上，属于最简分式的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的概念
【点评】
本题考查最简分式的判断，需紧扣最简分式的定义，通过因式分解或寻找公因数的方式分析分子分母是否有公因式，题目基础，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8

【解析】
将原分式中的$x$和$y$分别替换为$5x$和$5y$，得到新分式：
$\frac{2×5x}{5x - 5y}=\frac{10x}{5(x - y)}=\frac{2x}{x - y}$，与原分式相等，因此分式的值不变。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，通过代入替换后约分即可判断分式值的变化，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

【解析】
先将整式$a+1$化为同分母分式，再根据同分母分式的减法法则计算：
$\begin{aligned}a + 1 - \frac{a}{a - 1}&=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{a}{a-1}\\&=\frac{a^2 - 1 - a}{a-1}\\&=\frac{a^2 - a - 1}{a-1}\end{aligned}$
因此结果为选项C中的式子。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算
【点评】
本题考查分式与整式的混合加减运算，解题需先将整式通分转化为同分母分式，再按法则计算，注意分子展开时的符号运算。
【难度系数】
0.7

【解析】
方程两边同乘$(x - 2)$，得：
$1 + 2(x - 2) = x - 1$
去括号：$1 + 2x - 4 = x - 1$
移项、合并同类项：$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，即$x=2$是增根，
所以原分式方程无解。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；增根的概念
【点评】
解分式方程时必须检验所得解是否使原方程分母为零，若分母为零则该解为增根，原方程无解，切勿遗漏检验步骤。
【难度系数】
0.5

【解析】
设货车的速度为$x$km/h，由题意可知轿车的速度为$(x+20)$km/h。根据“货车行驶25 km与轿车行驶35 km所用时间相同”，结合“时间=路程÷速度”，可列方程：$\frac{25}{x} = \frac{35}{x + 20}$，因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式
【点评】
本题考查分式方程在行程问题中的应用，关键是根据“时间相同”这一等量关系，结合行程问题中时间、路程、速度的关系列出方程，需注意正确表示出两车的速度。
【难度系数】
0.7

【解析】
1. 分式无意义的条件是分母为0，令$|x| - 2 = 0$，解得$|x|=2$，即$x=\pm2$；
2. 分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，令$3x=0$，得$x=0$，此时分母$|0|-2=-2≠0$，符合条件。
【答案】
$\pm 2$；0
【知识点】
分式无意义的条件、分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式的基本性质，需注意分式值为0时，除分子为0外，还需保证分母不为0，这是易忽略点。
【难度系数】
0.8

【解析】
先对分子提取公因式，得$\frac{a(a + 2)}{a}$，由分式有意义的条件可知$a≠0$，约分后得到$a + 2$。
【答案】
$a + 2$
【知识点】
分式约分、因式分解
【点评】
本题考查分式的化简运算，通过提取公因式进行约分即可求解，侧重对分式基本性质的考查，属于基础题。
【难度系数】
0.9

【解析】
1. 先统一分母中互为相反数的因式：$\frac{1}{y(n - m)}=-\frac{1}{y(m - n)}$；
2. 分析各分母的因式：$\frac{1}{xy^2}$的分母因式为$x$、$y^2$，$\frac{c}{x(m - n)}$的分母因式为$x$、$(m - n)$，变形后第三个分式的分母因式为$y$、$(m - n)$；
3. 取各分母所有因式的最高次幂的乘积：$x$的最高次幂为1，$y$的最高次幂为2，$(m - n)$的最高次幂为1，因此最简公分母为$xy^2(m - n)$。
【答案】
$xy^{2}(m - n)$
【知识点】
最简公分母的确定
【点评】
确定分式的最简公分母时，需先将分母中互为相反数的因式转化为相同形式，再取各分母所有因式的最高次幂的乘积，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.7

【解析】
先对分母因式分解：$x^2 - 9=(x+3)(x-3)$，原方程的分母为$x-3$、$x+3$、$(x+3)(x-3)$，它们的最简公分母是$(x+3)(x-3)$，故去分母时两边都乘$(x+3)(x-3)$。
【答案】
$(x + 3)(x - 3)$
【知识点】
分式方程去分母，最简公分母确定
【点评】
本题是分式方程去分母的基础题，解题关键是通过因式分解找到各分母的最简公分母，需熟练掌握最简公分母的确定方法。
【难度系数】
0.9

【解析】
1. 对已知等式通分：
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} = \frac{2}{a + b}$
2. 交叉相乘得：
$(b - a)(a + b) = 2ab$
3. 利用平方差公式展开左边：
$b^2 - a^2 = 2ab$，即$-(a^2 - b^2) = 2ab$，整理得$a^2 - b^2 = -2ab$
4. 将$a^2 - b^2 = -2ab$代入所求式子：
$\frac{ab}{a^2 - b^2} = \frac{ab}{-2ab} = -\frac{1}{2}$（$a,b$为正实数，$ab≠0$，可约分）
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值，平方差公式
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通过对已知等式变形得到$a^2 - b^2$与$ab$的关系，整体代入求解，过程中利用平方差公式简化运算，需注意$a,b$为正实数确保分母不为零。
【难度系数】
0.6

【解析】
因为$x = 3$是方程$\frac{x - 1}{a - 1} = 1$的根，将$x = 3$代入方程得：
$\frac{3 - 1}{a - 1} = 1$，即$\frac{2}{a - 1} = 1$，
两边同乘$(a - 1)$得：$2 = a - 1$，
解得$a = 3$。
【答案】
3
【知识点】
方程的根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查方程根的定义的应用，通过将已知根代入原方程，转化为关于参数$a$的一元一次方程求解，思路直接，计算简单。
【难度系数】
0.9

【解析】
分式方程的增根是使分母为0的根，该方程分母为$x-3$，因此增根为$x=3$。
给方程两边同乘$(x-3)$去分母，得：
$2x - (x - 3) = m$
化简得：$x + 3 = m$
将增根$x=3$代入上式，得$m = 3 + 3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
分式方程增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，解题关键是先确定增根（使分母为0的根），再将增根代入去分母后的整式方程求解参数，需注意增根不是原分式方程的解，仅为整式方程的解。
【难度系数】
0.6