第128页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

a≠±b

2y+$\frac{1}{y}$=4

解：原式$=\frac{(a - 2)^2}{a - 2} × \frac{4}{a(a - 2)}$ $=\frac{(a - 2) × 4}{a(a - 2)}$ $=\frac{4}{a}$

解：原式$=\frac{a - 1}{a - 2} · \frac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 1)^2} - \frac{2}{a - 1}$ $=\frac{a + 2}{a - 1} - \frac{2}{a - 1}$ $=\frac{a + 2 - 2}{a - 1}$ $=\frac{a}{a - 1}$

解：原式$=(\frac{2a}{a + 2} - \frac{a + 2}{a + 2}) ÷ \frac{(a - 2)^2}{a + 2}$ $=\frac{2a - a - 2}{a + 2} × \frac{a + 2}{(a - 2)^2}$ $=\frac{a - 2}{a + 2} × \frac{a + 2}{(a - 2)^2}$ $=\frac{1}{a - 2}$

解：原式$=(\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1} - \frac{3}{a - 1}) ÷ \frac{(a + 2)^2}{a - 1}$ $=\frac{a^2 - 1 - 3}{a - 1} × \frac{a - 1}{(a + 2)^2}$ $=\frac{a^2 - 4}{a - 1} × \frac{a - 1}{(a + 2)^2}$ $=\frac{(a - 2)(a + 2)}{a - 1} × \frac{a - 1}{(a + 2)^2}$ $=\frac{a - 2}{a + 2}$

解：方程两边同乘$x(x+1)，$得$2(x+1)=3x$ 去括号，得$2x + 2 = 3x$ 移项，得$2x - 3x = -2$ 合并同类项，得$-x = -2$ 系数化为1，得$x = 2$ 检验：当$x = 2$时，$x(x+1)=2×3=6≠0$ 所以$x = 2$是原方程的解。

解：原方程可化为$\frac{2 - x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} = 1$ 方程两边同乘$x - 3，$得$2 - x + 1 = x - 3$ 合并同类项，得$3 - x = x - 3$ 移项，得$-x - x = -3 - 3$ 合并同类项，得$-2x = -6$ 系数化为1，得$x = 3$ 检验：当$x = 3$时，$x - 3 = 0，$所以$x = 3$是原方程的增根因此，原方程无解。

解：原式$=(1 - \frac{3}{a + 2}) ÷ \frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 4}$ $=\frac{a + 2 - 3}{a + 2} ÷ \frac{(a - 1)^2}{(a + 2)(a - 2)}$ $=\frac{a - 1}{a + 2} × \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 1)^2}$ $=\frac{a - 2}{a - 1}$ $\because a + 2 ≠ 0，$$a^2 - 4 ≠ 0，$$a^2 - 2a + 1 ≠ 0，$ $\therefore a ≠ -2，$$a ≠ \pm 2，$$a ≠ 1，$ $\therefore$从$-2,2,0$中只能选择$a = 0，$ 当$a = 0$时，原式$=\frac{0 - 2}{0 - 1} = 2$

【解析】
对原方程移项整理得：$(a^2 - b^2)x = a - b$，
利用平方差公式因式分解得：$(a - b)(a + b)x = a - b$，
要得到方程的解为$x = \frac{1}{a + b}$，需满足：
1. 等式两边不能直接约去$(a - b)$，故$a - b ≠ 0$，即$a ≠ b$；
2. 分式$\frac{1}{a + b}$有意义，故$a + b ≠ 0$，即$a ≠ -b$。
综上，$a$，$b$需满足的条件是$a ≠ \pm b$。
【答案】
$a≠\pm b$
【知识点】
一元一次方程解的讨论、分式有意义条件、平方差公式应用
【点评】
本题考查一元一次方程求解中字母取值的限制，需兼顾等式变形时除数不为零及分式分母不为零的条件，易忽略$a≠b$这一限制，需仔细分析。
【难度系数】
0.6

【解析】
已知设$\frac{x}{x - 1} = y$，则$\frac{2x}{x - 1}=2y$，$\frac{x - 1}{x}=\frac{1}{y}$，将其代入原方程$\frac{2x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = 4$，可得关于$y$的分式方程为$2y+\frac{1}{y}=4$。
【答案】
$2y+\frac{1}{y}=4$
【知识点】
换元法解分式方程
【点评】
本题考查换元法在解分式方程中的应用，关键是准确将原方程中的分式用含$y$的代数式替换，体现了转化思想。
【难度系数】
0.7

【解析】
（1）先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分计算：
$\begin{aligned}&\frac{a^2 - 4a + 4}{a - 2} ÷ \frac{a^2 - 2a}{4}\\=&\frac{(a-2)^2}{a-2} × \frac{4}{a(a-2)}\\=&\frac{4}{a}\end{aligned}$
（2）先因式分解，计算乘法，再通分计算减法：
$\begin{aligned}&\frac{a - 1}{a - 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} - \frac{2}{a - 1}\\=&\frac{a-1}{a-2} × \frac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^2} - \frac{2}{a-1}\\=&\frac{a+2}{a-1} - \frac{2}{a-1}\\=&\frac{a}{a-1}\end{aligned}$
（3）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分计算：
$\begin{aligned}&(\frac{2a}{a + 2} - 1) ÷ \frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2}\\=&\frac{2a-(a+2)}{a+2} × \frac{a+2}{(a-2)^2}\\=&\frac{a-2}{a+2} × \frac{a+2}{(a-2)^2}\\=&\frac{1}{a-2}\end{aligned}$
（4）先计算括号内的减法，因式分解后将除法转化为乘法，约分计算：
$\begin{aligned}&(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) ÷ \frac{a^2 + 4a + 4}{a - 1}\\=&\frac{(a+1)(a-1)-3}{a-1} × \frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{a^2-4}{a-1} × \frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{(a-2)(a+2)}{a-1} × \frac{a-1}{(a+2)^2}\\=&\frac{a-2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\frac{4}{a}$；（2）$\frac{a}{a - 1}$；（3）$\frac{1}{a - 2}$；（4）$\frac{a - 2}{a + 2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题关键是遵循先因式分解、再按先括号内，后乘除，最后加减的运算顺序计算，通过约分简化运算过程。
【难度系数】
0.6

【解析】
（1）方程两边同乘$x(x + 1)$，得：$2(x + 1) = 3x$
去括号：$2x + 2 = 3x$
移项、合并同类项：$-x = -2$
解得：$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$x(x + 1) = 6 ≠ 0$，所以$x = 2$是原方程的解。
（2）原方程变形为：$\frac{2 - x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} = 1$
方程两边同乘$(x - 3)$，得：$2 - x + 1 = x - 3$
移项、合并同类项：$-2x = -6$
解得：$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 3 = 0$，因此$x = 3$是原方程的增根，故原方程无解。
【答案】
（1）$\boldsymbol{x = 2}$；（2）$\boldsymbol{x = 3}$是原方程的增根，原方程无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的概念
【点评】
解分式方程需通过去分母转化为整式方程求解，求解后必须检验，若所得解使最简公分母为0，则该解为增根，原方程无解。
【难度系数】
0.6

【解析】
1. 化简括号内的代数式：
$1 - \frac{3}{a + 2} = \frac{a + 2 - 3}{a + 2} = \frac{a - 1}{a + 2}$
2. 将除法运算转化为乘法运算，并对分式的分子分母分解因式：
$\mathrm{原式} = \frac{a - 1}{a + 2} × \frac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 1)^2}$
3. 约分得到最简形式：
$\mathrm{原式} = \frac{a - 2}{a - 1}$
4. 确定$a$的取值范围：
要使原式有意义，需满足分母不为0，即$a + 2 ≠ 0$，$a - 1 ≠ 0$，$a^2 - 4 ≠ 0$，解得$a ≠ -2$，$a ≠ 1$，$a ≠ \pm 2$，因此只能选择$a = 0$。
5. 代入求值：
当$a = 0$时，$\frac{0 - 2}{0 - 1} = 2$。
【答案】
化简结果为$\frac{a - 2}{a - 1}$；当$a = 0$时，原式的值为2。
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的混合运算及求值，核心是掌握分式的运算法则，关键是注意分式有意义的条件，需排除使分母为0的取值，避免计算错误。
【难度系数】
0.6