第131页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

B

D

B

C

B

＜

4或15

−a

9 $\sqrt{2}$

解：原式$=3\sqrt{6}+2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{2}$

$=(3+2-\frac{1}{2})\sqrt{6}$

$=\frac{9\sqrt{6}}{2}$

解：$原式=(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2$

$=4×3 - 6$

$=12 - 6$

$=6$

【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，已知$\sqrt{(a + 1)^2} = a + 1$，可得$|a + 1| = a + 1$。
根据绝对值的性质，一个数的绝对值等于它本身时，该数为非负数，因此$a + 1 ≥ 0$，解得$a ≥ -1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质
【点评】
本题考查二次根式与绝对值的基础性质，解题关键是将二次根式转化为绝对值形式，利用绝对值的非负性列不等式求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【解析】
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数含能开尽方的因数9，不是最简形式；
B选项：$\sqrt{x^2 + y^2}$，被开方数$x^2+y^2$无法分解出能开尽方的因式，且不含分母，是最简形式；
C选项：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含分母，不是最简形式；
D选项：$\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$，被开方数含能开尽方的因式$a^2$，不是最简形式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题主要考查最简二次根式的判断，需准确把握最简二次根式的两个核心条件，通过对每个选项的化简分析即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4，不是$\pm4$，故A错误；
选项B：合并同类二次根式，$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(3-2)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，不是1，故B错误；
选项C：根据二次根式除法法则，$\sqrt{24}÷\sqrt{6}=\sqrt{24÷6}=\sqrt{4}=2$，不是4，故C错误；
选项D：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{\frac{2}{3}}·\sqrt{6}=\sqrt{\frac{2}{3}×6}=\sqrt{4}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 算术平方根的定义；2. 二次根式的加减运算；3. 二次根式的乘除运算
【点评】
本题主要考查二次根式的基本运算及算术平方根的概念，需准确区分算术平方根与平方根的差异，熟练掌握二次根式的运算法则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

【解析】
先根据二次根式的乘法法则计算：
$\sqrt{32} · \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{32×\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$，
$\sqrt{2} · \sqrt{5} = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$，
则原式$=4+\sqrt{10}$。
因为$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，且$\sqrt{10}\approx3.16$，
所以$4+3.16=7.16$，结果在7至8之间，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法、无理数的估算
【点评】
本题考查二次根式的运算与无理数的估算，需熟练掌握二次根式的乘法法则，通过平方数确定无理数的大致范围，进而估算原式的结果区间。
【难度系数】
0.7

【解析】
同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式。
对各选项化简：
A. $\sqrt{6}$已是最简，被开方数为6，与$6\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，与2不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，与$6\sqrt{2}$的被开方数相同，是同类二次根式；
D. $\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，被开方数为6，与2不同，不是同类二次根式。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式定义、二次根式化简
【点评】
本题主要考查同类二次根式的识别，解题关键是先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数是否一致，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

【解析】
首先，将$\sqrt{a^2 - 12a + 36}$变形为$\sqrt{(a-6)^2}=|a-6|$，则原式转化为$|a-6| + |b - 8| = 0$。
由于绝对值具有非负性，因此$\begin{cases}a-6=0\\b-8=0\end{cases}$，解得$a=6$，$b=8$。
因为$c$是三角形的最长边，所以$c ＞ 8$；根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$c ＜ a + b = 6 + 8 = 14$。
综上，$8 ＜ c ＜ 14$。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查非负数的性质与三角形三边关系，需先利用非负数的性质求出$a$、$b$的值，再结合“最长边”的限制条件确定$c$的取值范围，容易忽略“最长边”这一条件而错选D选项。
【难度系数】
0.6

【解析】
要比较$2\sqrt{3}$与$\sqrt{13}$的大小，可通过平方法：
计算两者的平方：
$(2\sqrt{3})^2 = 4×3 = 12$，
$(\sqrt{13})^2 = 13$，
因为$12 ＜ 13$，且$2\sqrt{3}＞0$，$\sqrt{13}＞0$，正数平方大的原数大，所以$2\sqrt{3} ＜ \sqrt{13}$。
【答案】
＜
【知识点】
二次根式比较大小、实数的大小比较
【点评】
本题考查二次根式的大小比较，利用平方法将无理数转化为有理数比较，是简便易行的常用方法，难度较低。
【难度系数】
0.9

【解析】
根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。
因此$\sqrt{3a - 1}$化简后被开方数需与$\sqrt{11}$的被开方数11相同，即$3a - 1$为11的正整数倍。
1. 当$3a - 1 = 11$时，解得：
$3a = 12$，$a = 4$；
2. 当$3a - 1 = 44$时，解得：
$3a = 45$，$a = 15$；
所以$a$的值可以是4或15。
【答案】
4或15
【知识点】
同类二次根式的定义
【点评】
本题主要考查同类二次根式的概念，核心是抓住“化简后被开方数相同”这一关键，通过建立关于$a$的方程求解，需保证$3a-1$为非负数且是11的正整数倍，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

【解析】
由数轴可知：$a ＜ 0$，$b ＞ 0$，则$a - b ＜ 0$，$b - a ＞ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$\sqrt{a^2} + \sqrt{(a - b)^2} - |b - a| = |a| + |a - b| - |b - a|$
代入绝对值的化简结果：$|a|=-a$，$|a - b|=b - a$，$|b - a|=b - a$，
则原式$=-a + (b - a) - (b - a)$
去括号合并同类项得：$-a + b - a - b + a = -a$
【答案】
$-a$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题考查了二次根式、绝对值的化简及数轴的应用，解题关键是根据数轴准确判断各代数式的符号，再结合相关性质进行化简计算。
【难度系数】
0.6

【解析】
先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
三角形的周长为三边之和，即：
$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(2+3+4)\sqrt{2}=9\sqrt{2}$。
【答案】
$9\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式加法，三角形周长计算
【点评】
本题考查二次根式的化简与运算及三角形周长的计算，解题关键是将各二次根式化为最简形式后合并同类二次根式。
【难度系数】
0.9

【解析】
先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，
$9\sqrt{\frac{1}{54}}=9×\frac{\sqrt{6}}{18}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{6}+2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{2}=(3+2-\frac{1}{2})\sqrt{6}=\frac{9\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$\frac{9\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
二次根式的化简、同类二次根式的合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，解题关键是先将所有二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，需注意分母有理化的运算准确性。
【难度系数】
0.7

【解析】
本题可利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$进行简便计算：
$\begin{aligned}&(2\sqrt{3} + \sqrt{6})(2\sqrt{3} - \sqrt{6})\\=&(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2\\=&4×3 - 6\\=&12 - 6\\=&6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式，二次根式的乘方
【点评】
本题考查平方差公式在二次根式混合运算中的应用，熟练掌握平方差公式可简化运算过程，提升计算效率。
【难度系数】
0.9