解：$(1)$由题意可得：$(a²+6ab+9b²)+(b²+2b+1)=0$
$∴(a+3b)²+(b+1)²=0$
$∴a=-3b，$$b=-1$
$∴a-b=-4b=4$
$(2)$由题意可得：$2a²-4a+2+b²-6a+9=0$
$2(a-1)²+(b-3)²=0$
$∴a=1，$$b=3$
由三角形的三边关系可知，三角形的三边长分别为$1，$$3，$$3$
因此$△ABC$的周长为$1+3+3=7$
$(3)∵x+y=2$
$∴y=2-x$
将它代入$xy-z²-4z=5$
得到$x(2-x)-z²-4z=5，$即$x²-2x+1+z²+4z+4=0$
$∴(x-1)²+(z+2)²=0$
$∴x=1$或$z=-2$
$∴y=2-x=1$
$∴xyz=-2$
