解：$(1)$当$x=0$时，$y=8，$∴$B(0，$$8)$
当$y=0$时，由$-\frac 43x+8=0$得，$x=6，$$A(6，$$0)$
在$Rt△AOB$中，$OA=6，$$OB=8$
由勾股定理得$AB=\sqrt {OA^2+OB^2}=10$
$(2)$由折叠性质得：$ ∠B=∠C，$$∠BDA= ∠CDA，$$AC=AB=10，$$BD=DC$
∴$OC=16$
设$OD=x，$则$DC=BD=x+8$
在$Rt△COD$中，由勾股定理得：$x^2 +16^2 =(x+8)^2$
解得$OD=12$
∵$∠BAO=∠CAE，$且$∠B+∠BAO+∠AOB=∠C+ ∠CAE+ ∠AEC=180°$
∴$∠AEC=∠AOB=90°$
∴$∠AED= ∠AOD=90°$
又∵$∠BDA=∠CDA$
∴$OA=AE=3$
在$Rt△AOD$和$Rt△AED$中
$\begin{cases}{AO=AE}\\{AD=AD }\end{cases}$
∴$Rt△AOD≌Rt△AED(\mathrm {HL})$
∴$S_{△ADE} =S_{△ADO}=\frac 12OA · OD=\frac 12×12×6=36 $
$(3)$设直线$AD$的解析式为$y= kx+b$
由$(2)$中$OD=12$得：点$D$坐标为$(0，$$-12)$
将点$D(0，$$-12)、$$A(6，$$0)$代入，得$\begin{cases}{6k+b=0}\\{b=-12}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=2}\\{b=-12}\end{cases}$
∴直线$AD$的解析式为$y=2x-12$
∵点$M$为直线$AD$上一点，故设点$M$坐标为$(m，$$2\ \mathrm {m}-12)$
由折叠性质得：$ MB=MC，$且$△MBC$为等要直角三角形
∴$∠BMC=90°$
在$Rt△BOC$和$Rt△BMC$中，由勾股定理得：$OB^2+OC^2 =BC^2$
$MB^2+MC^2=2MB^2=BC^2$
即$OB^2+OC^2 = 2MB^2$
∴$8^2+16^2=2[(m -0)^2+(2m-12-8)^2] $
即$\ \mathrm {m^2}-16m+48=0$
解得：$ m=4$或$m=12$
则满足条件的点$M$坐标为$(4，$$-4)$或$(12，$$12)$
