$解：∵(m+ \sqrt{3})×(1-\sqrt{3})=-2n+3(\sqrt{3}-1)$
$∴m-\sqrt{3}m+ \sqrt{3}-3=-2n+3\sqrt{3}-3$
$∴m+2n-2\sqrt{3}-\sqrt{3}m=0$
$①当m和n均为有理数时$
$则有m+2n=0，-2-m=0$
$解得m=-2，n=1$
$当m=-2，n=1时$
$m+\sqrt3+5n-\sqrt3=-2+\sqrt3+5-\sqrt3=3≠2$
$所以m+ \sqrt{3}与5n-\sqrt{3}不是关于1的平衡数； $
$②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时$
$m+\sqrt3+5n-\sqrt3=m+5n$
$而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2$
$所以m+\sqrt{3}与5n-\sqrt{3}不是关于1的平衡数；$
$③当m和n均为无理数时，若m+5n=2$
$又∵m+2n-2\sqrt{3}-\sqrt{3}m=0$
$解得m=\frac{-69-5\sqrt{3}}{33}，n_=\frac{27+\sqrt3}{33}$
$当m≠\frac{-69-5\sqrt{3}}{33}，n≠\frac{27+\sqrt{3}}{33}时$
$m+\sqrt{3}与5n-\sqrt{3}不是关于1的平衡数。$
$综上，当m=\frac{-69-5\sqrt3}{33}，$
$n=\frac{27+\sqrt{3}}{33}时$
$m+\sqrt3与5n-\sqrt{3}是关于1的平衡数，否则m+\sqrt{3}与5n-\sqrt{3}不是关于1的平衡数。$
