第23页 - 江苏版实验班提优训练数学八年级上下册答案

$证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD=BC，$

$∴∠DAF=∠BCE.\ $

$在 ADF与 CBE中\begin{cases}{\ ∠ADF=∠CBE,\ }\ \\ {\ AD=CB, } \\{∠DAF=∠BCE,\ }\end{cases}\ $

$∴△ADF≌△CBE(ASA)，∴AF=CE，\ $

$∴AF-EF=CE-EF，∴AE=CF.$

$(2)∵△ADF≌△CBE，$

$ ∴∠AFD=∠CEB，∴BE//DF.$

$解:当△ABC满足AB=AC时，四边形AECF是矩形，证明如下，$

$ 由(1)可知∠CAE=∠ACF，∴AE//CF.$

$ ∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF.$

$ ∴四边形AECF是平行四边形.$

$ 又AB=AC，AE平分∠BAC，$

$ ∴AE⊥BC.∴∠AEC=90°.$

$ ∴平行四边形AECF是矩形.$

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$证明:∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴AB=CD，∠B=∠D，AB//CD.\ $

$∴∠BAC=∠ACD.\ $

$∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，\ $

$∴∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC，\ $

$∠DCF=∠ACF=\frac{1}{2}∠ACD.\ $

$∴∠BAE=∠DCF.\ $

$在△ABE和△CDF中，\ $

$\begin{cases}{\ ∠B=∠D,\ }\ \\ {\ AB=CD,} \\{BAE=∠DCF,}\end{cases}\ $

$\ ∴△ABE≌△CDF(ASA ).$

$证明:连接AC，如图所示，$

$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴OA=OC，OB=OD.\ $

$∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，\ $

$∴E、F分别为OB、OD的中点.\ $

$∵G是AD的中点，$

$∴GF为△AOD的中位线.\ $

$∴GF//OA，GF=\frac{1}{2} CA.$

$\ 同理，得EH//OC，EH=\frac{1}{2}OC.\ $

$∴EH=GF，EH//GF.\ $

$∴四边形GEHF是平行四边形.$

$解:①四边形GEHF是矩形.理由如下，\ $

$由(2)，得四边形ABHG是平行四边形，\ $

$∴GH=AB.\ $

$∵BD=2AB，$

$∴AB=\frac{1}{2} BD=EF.\ $

$∴GH=EF.\ $

$∴四边形GEHF是矩形.\ $

$②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图所示，\ $

$则AM//GN.\ $

$∵G是AD的中点，\ $

$∴GN是△ADM的中位线.\ $

$∴GN=\frac{1}{2}AM.\ $

$∵∠ABD=120°，$

$∴∠ABM=60°.\ $

$∴∠BAM=30°.\ $

$∴BM=\frac{1}{2}AB=1，$

$AM=\sqrt{3}.$

$∴GN=\frac{\sqrt{3}}{2}.\ $

$∵BD=2AB=4，$

$∴EF=\frac{1}{2} BD=2.$

$∴三角形EFG的面积=\frac{1}{2} EF·GN=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\ $

$∴S_{四边形GEHF} =2S_{三角形EFG} =\sqrt{3}.\ $

$∴四边形GEHF的面积为 \sqrt{3}.$