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第24页

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③④

140°或80°

$解:图(1)中，菱形ABCD的面积=5×4=20.\ $

$图(2)中，BC=6，AD=8，\ $

$则菱形ABDC的面积= \frac{1}{2} ×6×8=24.\ $

$图(3)中，作AH⊥BC于点H，设菱形的边长为x，$

$在Rt△ABH中，AH=4，AB=5，则BH=3，$

$所以CH=x-3.\ $

$在Rt△ACH中，4²+(x-3)²=x²，解得x= \frac{25}{6}.$

$则菱形ACBD的面积= \frac{25}{6} ×4= \frac{50}{3} .\ $

$所以面积最小的为菱形ACBD.$

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$解:如图(3)，连接AC与BD，交于点O，\ $

$在梯形ABCD中，AB=CD，\ $

$∴∠ABC=∠DCB=72°.\ $

$∵AD//BC，$

$∴∠BAD=∠ADC=108°.\ $

$∵AB=AD=CD，$

$∴△ABD是等腰三角形，$

$∠ABD=∠ADB=36°.\ $

$∴∠DBC=72°-36°=36°，$

$∠BDC=108°-36°= 72°=∠DCB.$

$∴△BDC也是等腰三角形.\ $

$∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的巧分线. 同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形，\ $

$∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的巧分线.\ $

$∴梯形ABCD是绝妙四边形.$

$解:∵AC是四边形ABCD的巧分线，$

$\ ∴△ACD和△ABC是等腰三角形.\ $

$①当AC=BC时，如图(4)，过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，\ $

$∵∠HAD=∠AHC=∠G=90°，$

$∴四边形AHCG是矩形.\ $

$∴AH=CG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD.\ $

$∴∠CDG=30°.\ $

$∴∠ADC=150°.$

$∴∠DAC=∠DCA=15°.\ $

$∵∠DAB=90°，$

$∴∠CAB=∠B=75°.\ $

$∴∠ACB=30°.$

$∴∠BCD=30°+15°=45°.\ $

$②当AC=AB时，如图(5)，\ $

$∵AC=AB=AD=CD，$

$∴△ACD是等边三角形.\ $

$∴∠CAD=∠ACD=60°.\ $

$∵∠BAD=90°，$

$∴∠BAC=30°.\ $

$∵AB=AC.$

$∴∠ACB=75°.\ $

$∴∠BCD=75°+60°=135°.$

$③当AB=BC时，如图(6)，此时∠BCD=90°.\ $

$综上所述，∠BCD的度数是45°或135°或90°.\ $

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