第48页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

AC⊥BD

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2.4≤x＜4

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$证明:∵四边形ABCD是矩形，$

$∴AB//CD，$

$∴∠MAB=∠NCD.$

$在 △ADM和△CDN中，$

$\begin{cases}{AB=CD,\ }\ \\ { ∠MAB=∠NCD } \\{AM=CN,}\end{cases}\ $

$∴△ABM≌△CDN(SAS).$

$解:连接EF，交AC于点O.$

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴AD=BC，∠ABC=90°，$

$∴AC=\sqrt {AB²+BC²} =5.$

$∵E、F分别是AD、BC的中点，$

$∴AE=BF，$

$∴四边形ABFE是矩形，$

$∴EF=AB=3.$

$在△AEO和△FO中，$

$\begin{cases}{∠EOA=∠FOC,\ }\ \\ { ∠EAO=∠FCO, } \\{AE=CF,}\end{cases}\ $

$∴ △ABO≌△CFO(AAS)，$

$∴EO=FO，AO=CO=\frac{5}{2}，$

$∴O为EF、AC的中点.$

$∵∠EGF=90°，$

$∴OG=\frac{1}{2}EF=\frac{3}{2}，$

$∴AG=OA-OG=1或AG=OA+OG=4，$

$∴AG的长为1或4.$

$解:延长CD至点E，使CD=DE，连接AE、BE.$

$∵CD是斜边AB上的中线，$

$∴D为AB中点，$

$∴四边形AEBC为平行四边形.$

$∵∠ACB=90°，$

$∴平行四边形AEBC是矩形，$

$∴CE=AB.$

$又CD=\frac{1}{2}CE，$

$∴CD=\frac {1}{2}AB.$

$解:①EF⊥AC.理由如下:$

$连接AE、CE，$

$∵∠BAD=90°，E是BD的中点，$

$∴AE=\frac{1}{2}DB.$

$∵∠DCB=90°，E是BD的中点，$

$∴CE=\frac{1}{2}DB，$

$∴AE=CE.$

$又F是AC的中点，$

$∴EF⊥A C.$

$②连接EO，$

$∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴O是AC、BD的中点.$

$∵∠AEC=90°，O是AC的中点，$

$∴EO=\frac{1}{2}AC.$

$∵∠BED=90°，$

$O是BD的中点，$

$∴EO=\frac{1}{2}BD，$

$∴AC=BD，$

$∴平行四边形ABCD是矩形.$