第56页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

$解:(2)作FQ⊥CD交DC的延长线于点Q，$

$连接GE，如图，$

$∵四边形ABCD为矩形，$

$∴AB//CD，$

$∴∠AEG=∠QGE，$

$即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE.$

$∵四边形EFGH为菱形，$

$∴HE=GF，HE//GF，∴∠HEG=∠FGE，$

$∴ ∠AEH= ∠QGF.$

$在△AEH 和△QGF 中，\begin{cases}{∠A=∠Q,\ }\ \\ {∠AEH=∠QGF,\ } \\{HE=FG,}\end{cases}$

$∴△AEH≌△QGF，∴QF=AH=2.$

$∵DG=6，CD=8，∴CG=2，$

$∴△FCG的面积=\frac {1}{2}CG·FQ=\frac{1}{2}×2×2=2.\ $

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(-1，0)或(1，6)

$\sqrt{10}或\sqrt {26}\ $

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$证明:∵四边形EFGH为菱形，$

$∴HG=EH.$

$∵AH=2,DG=2,$

$∴DG=AH.\ $

$在Rt△DHG和Rt△AEH中，$

$\begin{cases}{ HD=EH, }\ \\ { DG=AH, } \end{cases}\ $

$∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL),$

$∴∠DHG=∠AEH.$

$∵∠AEH+∠AHE=90°,$

$∴∠DHG+∠AHE=90°,$

$∴∠GHE=90°,$

$∴菱形EFGH为正方形. $

$证明:连接BD、BF、BP，如图①，$

$∵四边形ABCD、BEFG都是正方形，\ $

$∴∠CBD=45°=∠FBG，$

$∴∠DBF=90°.$

$∵四边形ABCD是正方形，$

$∴AD=AB，∠DAC=∠BAC=45°.$

$又∵AP=AP，$

$∴△APD≌△APB(SAS)，$

$∴BP=DP，$

$∴∠PDB=∠PBD.$

$∵∠PDB+∠PFB=90°= ∠PBD+∠PBF，$

$∴∠PBF=∠PFB，$

$∴PB=PF，$

$∴PD=PF，$

$即点P恰为DF的中点.$

$解:△APE是等腰直角三角形，理由如下:\ $

$∵四边形ABCD、BEFG都是正方形，$

$∴∠CAE=∠PEA=45°，$

$∴AP=EP，∠APE=90°，$

$∴△APE是等腰直角三角形.$

$解:△APE的形状不改变.理由:$

$延长EP至点M，使PM=EP，连接MA、MD，如图②，$

$∵四边形ABCD、四边形BEFG都是正方形，$

$∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠EBG=90°，BE=EF，BG//EF.$

$∵点P为DF的中点，$

$∴PD=PF.$

$∵∠DPM=∠FPE，PM=PE，∴△MPD≌△EPF(SAS)，$

$∴DM=EF，∠DMP=∠FEP，$

$∴BE=DM，DM//EF，$

$∴BG//DM.$

$设DF交BC于点H，交BG于点N，$

$∴∠MDN=∠DNB.$

$∵AD//BC，$

$∴∠ADN=∠BHN.$

$∵∠BHN+∠BNH+∠HBN=180°，$

$∴∠ADM=∠ADN+∠MDN=∠BHN+∠BNH=180°-∠HBN.\ $

$∵∠ABE=360°-∠ABC-∠EBG-∠HBN=180°-∠HBN.$

$∴∠ADM=∠ABE.$

$又∵AD=AB，$

$∴△ADM≌△ABE(SAS)，$

$∴AM=AE，∠DAM=∠BAE.$

$∵PM=EP，$

$∴AP⊥ME，即∠APE=90°.$

$∵∠DAM+∠MAB=90°，$

$∴∠BAE+∠MAB=90°，$

$即∠MAE=90°，$

$∴∠MAP=∠PAE=45°，$

$∴∠PEA=45°=∠PAE，$

$∴AP=EP，$

$∴△APE是等腰直角三角形.$