$解:如图①，连接BD，取BD的中点H，连接HE、FH.$
$∵E、H分别是AD、 BD的中点，$
$∴EH//AB，EH=\frac{1}{2}AB，\ $
$∴∠BME=∠HEF.$
$∵F、H分别是BC、BD的中点，$
$∴FH//CD，FH=\frac {1}{2}CD，$
$∴ ∠CNE=∠HFE.$
$∵AB=CD，$
$∴HE=FH，$
$∴∠HEF=∠HFE，$
$∴∠BME=∠CNE.\ $
$问题一:△OMN为等腰三角形.\ $
$问题二:△AGD是直角三角形.\ $
$证明:如图③，连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE.$
$∵F是AD的中点，$
$∴HF//AB，HF=\frac{1}{2} AB.$
$同理，HE//CD，HE=\frac{1}{2} CD.$
$∵AB=CD，$
$∴HF=HE.$
$∵∠EFC=60°，$
$∴∠HEF=60°，$
$∴∠HEF=∠HFE=60°，$
$∴△EHF是等边三角形，$
$∴∠3=∠HFE=∠EFC=∠AFG=60°，$
$∴△AGF是等边三角形.$
$∵AF=FD，$
$∴GF=FD，$
$∴∠FGD=∠FDG=30°，$
$∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形.$
$问题三:如图④，连接BD，取BD的中点H，连接EH、HF，$
$∵E、F分别是AD、BC的中点，$
$∴EH//AB，EH=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}，$
$HF//CD，HF=\frac{1}{2}CD=6，$
$∴ ∠HEF=∠BMF，∠HFE=∠CNF.$
$又∵ EF=\frac{13}{2} ，$
$∴EF²=\frac{169}{4}.$
$∵ EH²=\frac{25}{4}，HF²=36，$
$EH²+HF²=\frac{169}{4}，$
$∴EF²=EH²+HF²，$
$∴△EHF是直角三角形，$
$∴∠EHF=90°，$
$∴ ∠HEF+∠HFE=90°，$
$∴∠BMF+∠CNF=90°.$
