第159页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

$证明:(1)∵四边形ABCO是平行四边形，$

$∴AB//OC，∴∠BAO=∠AOF，$

$由旋转可知，∠BAO=∠OAF，AO=AF，$

$∴∠OAF=∠AOF，即AF=OF.$

$∵AO=AF，∴AF=OF=AO，$

$∴△AOF是等边三角形.\ $

$由题可知AB=CO=AD=4，$

$∵AD经过点O，点A、D在反比例函数$

$y=\frac{k}{x}的图像上，由反比例函数的$

$中心对称性，可得OA=OD=2，$

$过点A作x轴的垂线，垂足为H，$

$∵△AOF是等边三角形，$

$∴OH=1，AH=\sqrt{3}，∴A(1，\sqrt {3} )，$

$∴k=\sqrt {3} .$

$解:(2)a= \frac{k}{x_{1}} ，b= \frac{k}{x_{2}} ，$

$∴m²= \frac{\frac{k}{x_{1}}+ \ \frac{k}{x_{2}}}{2k}= \frac{x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}} ，$

$∴m² -n² = \frac{x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}} -\frac{2}{x_{1}+x_{2}} = \frac{(x_{1}-x_{2})²}{2x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})} \gt 0，$

$∴m\gt n\gt 0.$

$∵当x\gt 0时，y随x增大而减小，\ $

$\ ∴y_{1}\lt y_{2}.$

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$解:①∵一次函数y=x+b的图像与反比例函数y=\frac{k}{x}的图像交于 B(2，6)，$

$将B(2，6)分别代入y=x+b，y=\frac{k}{x}，$

$解得b=4，k=12，$

$∴y=x+4，y=\frac{12}{x} .$

$②设P(0，m)，则S_{△BCP} =\frac{1}{2}|PC|·x_{B} =5，$

$∵y=x+4，令x=0，$

$则y=4，即C(0，4)，$

$∴PC=|m-4|，即\frac{1}{2} |m-4|×2=5，$

$解得m=9或-1，$

$∴点P的坐标为(0，9)或(0，-1).$

$解:∵一次函数y=x+b，$

$∴∠BAD=45°，A(-b，0).$

$∵过点B作BD⊥ x轴于点D，$

$∴△ABD是等腰直角三角形，$

$∴AD=BD.$

$∵一次函数y=x+b的图像与反比例函数y=\frac{k}{x}(x＞0)的图像交于点B，$

$∴设B(m，m+b)，则k=m(m+b)，$

$∴AD=BD=m+b.$

$∵点E为AB的中点，$

$∴∠ADE=∠BDE=45°，$

$∴△DOF是等腰直角三角形，$

$∴OF=OD=m.$

$∵△AFD的面积为11，$

$∴\frac{1}{2}AD·OF=11，$

$即\frac{1}{2}(m+b)·m=11，$

$∴k=m(m+b)=22.$

$解:将A(m，6)代入y=x+8得6=m+8，$

$解得m=-2，\ $

$∴A(-2，6)，同理可得点B的坐标为(-6，2).$

$将A(-2，6)代入y=\frac{k}{x}得k=xy=-12，$

$∴反比例函数的表达式为y=-\frac{12}{x}.$

$解:作点A关于y轴的对称点A'(2，6)，连接A'B交y轴于点P，连接 AP，如图①，此时 AP+ BP 的值最小，\ $

$∵ A' B =\sqrt{[2-(-6)]²+(6-2)²}=4\sqrt {5} ，$

$AP=A'P，$

$∴AP+BP的最小值为4\sqrt {5} .$