第163页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

①③

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:连接DE，BD⊥AE，∠BAE=45°，$

$∴∠ABD=45°.\ $

$由题意可得，AC=2AD，BC=2BE，DE是△ABC的中位线，$

$∴DE//AB，$

$∴∠AED=∠BAE=∠ABD=∠EDB=45°，$

$∴OD=OE，OA=OB.\ $

$又∵∠AOD=∠BOE=90°，$

$∴△AOD≌△BOE(SAS)，$

$∴AD=BE，$

$∴AC=BC，$

$∴△ABC是等腰三角形.$

$解:连接DE，$

$∵AE、BD分别是边BC、AC上的中线，$

$∴AC=2AD，BC=2BE，DE=\frac{1}{2}AB，$

$∴AC²=4AD²，BC²=4BE²，DE²=\frac{1}{4}AB².\ $

$在Rt△AOD中，AD²=OD²+OA²，$

$在Rt△BOE中，BE²=OB²+OE²，$

$同理可得DE²=OD²+OE²，$

$AB²=OA²+OB²，$

$∴AC²+BC²=4(AD²+BE²)=4(OA²+OD²+OB²+OB²)=4(AB²+DE²)=4(AB²+\frac{1}{4}AB² )=5AB².$

$解:如图，连接MN，$

$∵点M、N分别是OA、OD的中点，$

$∴MN是 △AOD的中位线，$

$∴MN//AD，且MN=\frac{1}{2}AD.\ $

$∵四边形ABCD是菱形，$

$∴CM⊥BN，AD=BC，且AD//BC，$

$∴MN//BC，MN=\frac{1}{2}BC.$

$如图，延长MN至K，使MN=\frac{1}{2}MK，$

$∴MK=BC.$

$又MK//BC，$

$∴四边形BMKC为平行四边形，$

$∴BM//CK，EM=CK，$

$∴∠E=∠KCN.$

$又∠ENM=∠ CNK，MN=KN，$

$∴△EMN≌△CKN，$

$∴EM=CK，EN=CN，$

$∴EM=MB，$

$∴CM，BN是△BCE的中线且CM⊥BN，$

$∴△BCE是中垂三角形.\ $

$解:∵点B(2，1.5)是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形"ABCD的顶点，$

$∴A(2，4)，C(\frac{16}{3}，\frac{3}{2})，$

$∴D(\frac{16}{3}，4).$

$设直线BD的表达式为y=ax+b，$

$则\begin{cases}{2a+b=1.5,\ }\ \\ { \dfrac {16}{3}a+b=4, } \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{ a= \dfrac {3}{4},}\ \\ { b=0, } \end{cases}\ $

$∴直线BD的表达式为y=\frac {3}{4}x.$

$解:∵A、C在反比例函数y=\frac{k}{x}(k≠0)上，$

$设A(m，\frac{k}{m})，C(n， \frac{k}{n})，$

$则B(m， \frac{k}{n})，D(n，\frac{k}{m}).$

$设直线BD的表达式为y=cx+d.$

$则 \begin{cases}{\ \dfrac{k}{m}=cn+d,}\ \\ {\ \dfrac{k}{n}=cm+d, } \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{\ c=\dfrac{k}{mn}, }\ \\ {d=0,\ } \end{cases}\ $

$即y=\frac {k}{mn}x，$

$∴直线BD过原点.$