第162页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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等边三角形

$\frac{9\sqrt {3} }{4}$

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$证明:①∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，$

$∴AB=CD=CD'，∠B= ∠D=∠D'=90°.$

$又∠AEB=∠CED'，$

$∴△ABE△CD'E.\ $

$解:②BD'//AC，理由如下:$

$连接BD'，如图①，$

$∵ △ABE≌A CD'E，$

$∴AE=CE，BE=D'E，$

$∴∠EAC=∠ECA，∠EBD'=∠ED'B.$

$又∠AEB=∠EAC+∠ECA=2∠ECA，$

$∠AEB=∠EBD'+∠ED'B=2∠EBD'，\ $

$∴∠EBD'=∠ECA，$

$∴BD'//AC.$

$解:∵∠B=90°，AB=3\sqrt {3}， ∠ACB=30°，$

$∴AC=6\sqrt {3}， ∠BAC=60°.\ $

$∵∠EAC=∠ECA=30°，$

$∴ ∠BAE=30°，$

$∴AE=2BE.$

$又AB²+ BE²=AE²，$

$即(3\sqrt {3} )²+BE²=(2BE)²，$

$∴BE=3，AE=6.\ $

$要使△AEQ是直角三角形，$

$则∠AEQ=90°或∠AQE=90°.\ $

$当∠AQE=90°时，如图②，$

$∵ ∠CAE=30°，$

$∴∠AEQ=60°.\ $

$又∠AEB=2∠ECA=60°，$

$∴∠QEC=180°-∠AEB-∠AEQ=60°.$

$由对称知∠QEF=∠CEF=\frac{1}{2} ∠QEC=30°=∠FCE，$

$∴ CF=EF.\ $

$∵∠CAE=30°，∠AEF=∠AEQ+∠ QEF=90°，$

$∴AF=2EF=2CF，$

$∴AC=3CF，$

$∴CF=\frac{1}{3} AC=2\sqrt {3} .\ $

$当∠AEQ=90°时，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥EP于N，如图③，则FM=FN，$

$∵∠AEQ=90°，∠CAE=30°，$

$∴AQ=2EQ.$

$又AE²+EQ²=AQ²，$

$即6²+EQ²=(2EQ)²，$

$∴EQ=2\sqrt {3} ，AQ=4\sqrt {3} ，$

$∴CQ=2\sqrt {3} .$

$设CF=x，则QF=2\sqrt {3} -x.$

$FM=\frac {1}{2}x，$

$∵∠PQC=∠QEC+∠QCE=60°，∠FNQ=90°，$

$∴∠QFN=30°，$

$∴QN=\frac{1}{2} QF=\frac{1}{2}(2\sqrt {3} -x)，$

$FN=\sqrt {QF²-QN²} =\frac{\sqrt{3}}{2}(2\sqrt {3} -x)，$

$∴\frac{\sqrt {3} }{2}(2\sqrt {3} -x)=\frac {1}{2}x ，$

$解得x=3\sqrt {3} -3，$

$即CF=3\sqrt {3} -3.$

$综上，CF的长为2\sqrt {3} 或3\sqrt {3} -3.\ $

$解:如图，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，$

$连接BB'，过点B'作B'E⊥BE，交BA的延长线于点E.\ $

$由旋转的性质可知△BCD≌△B'AD，$

$∴∠C=∠B'AD，$

$∴S_{四边形ABCD} =S_{△ABD} +S_{△ADB} .$

$∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，$

$∴∠C+∠BAD=360°-60°-75°=225°，$

$∴∠BAB'=360°-∠BAD-∠B'AD=135°，\ $

$∴∠B'AE=180°-∠BAB'=45°.$

$∵B'A=BC=\sqrt{2}，$

$∴B'E=AE=1，$

$∴BE=AB+AE=2+1=3，$

$∴BB'= \sqrt{10}.$

$等边△DBB'中，BB'上的高=$

$\sqrt{(\sqrt{10}²-(\frac{\sqrt{10}}{2})²}=\frac{\sqrt {30} }{2}.$

$∵S_{△ABB'} =\frac{1}{2}·AB·B'E=\frac{1}{2}×2×1=1，$

$S_{△BDB'} =\frac{1}{2} ×\sqrt {10} ×\frac{\sqrt{30}}{2}=\frac{5\sqrt {3} }{2}，$

$∴S_{四边形ABCD} =S_{△ABD} +S_{△ADB'} =S_{△BDB'} -S_{△ABB'} =\frac{5\sqrt {3} }{2}-1.$