解：$(1)$∵$y=-\frac 12x^2+4x-6=-\frac 12(x-4)^2+2$
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=4，$顶点坐标为$(4，$$2)$
$(2)$∵点$P(x_m，$$y_m)$在函数图象上
∴$y_m=-\frac 12(x_m-4)^2+4$
由题意易得$-3≤x_m≤3$
∴当$x_m=3$时，$y_m$的最大值$=-\frac 12×(3-4)^2+2=\frac 32$
$(3)$在$y=-\frac {1}{2}x²+4x-6$中，当$x=0$时，$y=-6$
∴$C(0，$$-6)$
当$y=0$时，$-\frac {1}{2}x²+4x-6=0$
解得$x_{1}=2，$$x_{2}=6$
∴$A(2，$$0)，$$B(6，$$0)$
∴$S_{△ABC}=\frac {1}{2}×(6-2)×6=12$
