解：$(1)$∵抛物线$y=-x²+bx+c $经过$A(-1，$$0)，$$C(0，$$3)$两点
∴$\begin{cases}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{cases}$解得$\begin{cases}{b=2}\\{c=3}\end{cases}$
∴该抛物线对应的函数解析式为$y=-x²+2x+3$
$ (2)$∵$y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4$
∴顶点$M$的坐标为$(1，$$4)$
设直线$AM$对应的函数解析式为$y=kx+d$
则$\begin{cases}{k+d=4}\\{-k+d=0}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=2}\\{d=2}\end{cases}$
∴直线$AM$对应的函数解析式为$y=2x+2$
当$x=0$时，$y=2$
∴$D(0，$$2)$
如图，作点$D$关于$x$轴的对称点$D'(0，$$-2)，$连接$D'M，$$D'H，$则$DH=D'H$
∴$MH+DH=MH+D'H≥D'M，$即$MH+DH$的最小值为$D'M$的长
∵$D'M= \sqrt {(1-0)²+(4+2)²} = \sqrt {37}$
∴$MH+DH$的最小值为$ \sqrt {37}$
$(3)$存在，∵$P $是抛物线上一动点
∴设$P(m，$$-m²+2m+3)$
∵抛物线$y=-x²+2x+3$的对称轴为直线$x=1$
∴设$Q(1，$$n)$
当$DM，$$PQ $为对角线时，$DM，$$PQ $的中点重合
∴$\begin{cases}{0+1=m+1}\\{2+4=-\mathrm {m^2}+2m+3+n}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{m=0}\\{n=3}\end{cases}$
∴$Q(1，$$3)$
当$DP，$$QM$为对角线时，$DP，$$QM$的中点重合
∴$\begin{cases}{0+m=1+1}\\{2-\mathrm {m^2}+2m+3=4+n}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{m=2}\\{n=1}\end{cases}$
∴$Q(1，$$1)$
当$DQ，$$PM $为对角线时，$DQ，$$PM $的中点重合
∴$\begin{cases}{0+1=1+m}\\{2+n=4-\mathrm {m^2}+2m+3}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{m=0}\\{n=5}\end{cases}$
∴$Q(1，$$5)$
综上所述，对称轴上存在点$Q，$使得以$D，$$M，$$P，$$Q $为顶点的四边形是平行四边形，
点$Q $的坐标为$(1，$$3)$或$(1，$$1)$或$(1，$$5)$
