解：$(1)$由题意，可设$y=a(x+2)²$
将$(0，$$3)$代入得$4a=3$
解得$a=\frac 34$
∴$y=\frac 34(x+2)^2$
$(2)$由题意，可设$y=a(x+2)^2-5$
将$(1，$$-14)$代入得$9a-5=-14，$解得$a=-1$
∴$y=-(x+2)^2-5=-x^2-4x-9$
$(3)$由题意，可设$y=a(x-\frac 32)^2-\frac 14$
将$(0，$$2)$代入得$\frac 94a-\frac 14=2，$解得$a=1$
∴$y=(x-\frac 32)^2-\frac 14=x^2-3x+2$
