解：$(1)∵0=0^2+0^2×0，$$1=1^2+0^2-1×0，$$3=2^2+1^1-2×1，$$4=2^2+0^2-2×0，$$7=2^2+3^2-2×3，$$9=3^2+0^2-3×0，$
$∴10$以内的“希尔伯特”数有$0，$$1，$$3，$$4，$$7，$$9.$
$(2)$设“希尔伯特”数为$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1).(n$为自然数)
$∵(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)=4n^2+3，$
$∵4n^2$能被$4$整除，
∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被$4$除余$3.$
$(3)$设两个“希尔伯特”数分别为：$(2m+1)^2+(2m-1)^2-(2m+1)(2m-1)$和$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1).(m，$$n$为自然数).
由题意：$(2m+1)^2+(2m-1)^2-(2m+1)(2m-1)-[(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)]=224，$
$∴\ \mathrm {m^2}-n^2=56，$
$∴(m+n)(m-n)=56，$
可得整数解：$m=9，n=5$或$m=15，n=13$
∴这两个“希尔伯特”数分别为$327$和$103$或$903$和$679.$
