第27页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$证明：连接BE，$

$∵ED⊥BC，∴∠BDE=∠A= 90°$

$在Rt△ABE和Rt△DBE中$

$\begin{cases}{BE=BE } \\ {BA=BD} \end{cases}$

$∴Rt△ABE≌Rt△DBE(\mathrm {HL})$

$∴∠ABE=∠DBE$

$∴点E在∠ABC的平分线上$

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$证明：延长AD至点E，使DE= AD，连接CE$

$在△ABD和△ECD中$

$\begin{cases}{AD=DE }\\{∠ADB=∠EDC} \\ {BD=CD} \end{cases}$

$∴△ABD≌△ECD，∴AB= EC$

$在△ACE中，∵AC+ EC\gt AE= 2AD$

$∴AB+AC\gt 2AD$

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$证明：连接AC，AD$

$在△ABC和△AED中$

$\begin{cases}{AB=AE }\\{∠B=∠E} \\ {BC=ED} \end{cases}$

$∴△ABC≌△AED(\mathrm {SAS})$

$∴AC=AD，∠BAC=∠EAD$

$∵AF 平分∠BAE$

$∴∠BAF=∠EAF$

$∴∠BAF-∠BAC=∠EAF-∠EAD$

$∴∠FAC=∠ FAD$

$在△ACF 和△ADF 中$

$\begin{cases}{AC=AD }\\{∠FAC=∠FAD} \\ {AF=AF} \end{cases}$

$∴△ACF≌△ADF(\mathrm {SAS})$

$∴∠AFC=∠AFD$

$∵∠AFC+∠AFD= 180°$

$∴∠AFC=90°，即AF⊥CD$

$解：EF=2AD$

$证明：延长AD到点M，使得DM=AD，$

$连接BM$

$∵AD是△ABC的中线$

$∴BD= CD$

$在△MDB和△ADC中$

$\begin{cases}{BD=CD }\\{∠BDM=∠CDA} \\ {DM=AD} \end{cases}$

$∴△MDB≌△ADC(\mathrm {SAS})$

$∴BM=AC，∠M=∠CAD，∴AC// BM$

$∴∠BAC+∠ABM= 180°$

$∵∠BAE=∠FAC=90°$

$∴∠BAC+∠EAF=180°$

$∴∠ABM=∠EAF$

$∵AC=AF$

$∴BM=AF$

$在△ABM和△EAF 中$

$\begin{cases}{ AB=EA }\\{∠ABM=∠EAF} \\ {BM=AF} \end{cases}$

$∴△ABM≌△EAF(\mathrm {SAS})$

$∴AM= EF$

$∵AD= DM$

$∴AM= 2AD$

$∴EF=2AD$